Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83706 / 20890
↖ ↑ ↗
← N 76.581984°
E 49.905396°		 ← 70.86 m → N 76.581984°
E 49.908142°		 →
↑
70.91 m
↓
↑
70.91 m
↓
N 76.581346°
E 49.905396°		 ← 70.86 m →
5 025 m²		 N 76.581346°
E 49.908142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638629913330078 y=0.159381866455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638629913330078 × 217)
    floor (0.638629913330078 × 131072)
    floor (83706.5)     		tx = 83706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159381866455078 × 217)
    floor (0.159381866455078 × 131072)
    floor (20890.5)     		ty = 20890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83706 / 20890 ti = "17/83706/20890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83706/20890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83706 ÷ 217
    83706 ÷ 131072     		x = 0.638626098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20890 ÷ 217
    20890 ÷ 131072     		y = 0.159378051757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638626098632812 × 2 - 1) × π
    0.277252197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87101347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159378051757812 × 2 - 1) × π
    0.681243896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14019082043703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87101347} λ = 0.87101347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14019082043703))-π/2
    2×atan(8.50105965004142)-π/2
    2×1.45370204666161-π/2
    2.90740409332323-1.57079632675     		φ = 1.33660777
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87101347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.905396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33660777 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.581984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83706 KachelY 20890 0.87101347 1.33660777 49.905396 76.581984
    Oben rechts KachelX + 1 83707 KachelY 20890 0.87106140 1.33660777 49.908142 76.581984
    Unten links KachelX 83706 KachelY + 1 20891 0.87101347 1.33659664 49.905396 76.581346
    Unten rechts KachelX + 1 83707 KachelY + 1 20891 0.87106140 1.33659664 49.908142 76.581346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33660777-1.33659664) × R
    1.11300000000814e-05 × 6371000     		dl = 70.9092300005183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33660777-1.33659664) × R
    1.11300000000814e-05 × 6371000     		dr = 70.9092300005183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87101347-0.87106140) × cos(1.33660777) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.232053768788305 × 6371000     		do = 70.8604099063908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87101347-0.87106140) × cos(1.33659664) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.232064594957876 × 6371000     		du = 70.8637158075083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33660777)-sin(1.33659664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232053768788305-0.232064594957876)×R²
    abs(0.87106140-0.87101347)×1.08261695715983e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.08261695715983e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.08261695715983e-05×40589641000000     		ar = 5024.77431340714m²