Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83706 / 19964
↖ ↑ ↗
← N 77.159604°
E 49.905396°		 ← 67.86 m → N 77.159604°
E 49.908142°		 →
↑
67.85 m
↓
↑
67.85 m
↓
N 77.158994°
E 49.905396°		 ← 67.87 m →
4 605 m²		 N 77.158994°
E 49.908142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638629913330078 y=0.152317047119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638629913330078 × 217)
    floor (0.638629913330078 × 131072)
    floor (83706.5)     		tx = 83706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152317047119141 × 217)
    floor (0.152317047119141 × 131072)
    floor (19964.5)     		ty = 19964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83706 / 19964 ti = "17/83706/19964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83706/19964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83706 ÷ 217
    83706 ÷ 131072     		x = 0.638626098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19964 ÷ 217
    19964 ÷ 131072     		y = 0.152313232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638626098632812 × 2 - 1) × π
    0.277252197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87101347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152313232421875 × 2 - 1) × π
    0.69537353515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1845803894852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87101347} λ = 0.87101347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1845803894852))-π/2
    2×atan(8.88691872634702)-π/2
    2×1.45874273574648-π/2
    2.91748547149295-1.57079632675     		φ = 1.34668914
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87101347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.905396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34668914 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.159604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83706 KachelY 19964 0.87101347 1.34668914 49.905396 77.159604
    Oben rechts KachelX + 1 83707 KachelY 19964 0.87106140 1.34668914 49.908142 77.159604
    Unten links KachelX 83706 KachelY + 1 19965 0.87101347 1.34667849 49.905396 77.158994
    Unten rechts KachelX + 1 83707 KachelY + 1 19965 0.87106140 1.34667849 49.908142 77.158994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34668914-1.34667849) × R
    1.0650000000112e-05 × 6371000     		dl = 67.8511500007133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34668914-1.34667849) × R
    1.0650000000112e-05 × 6371000     		dr = 67.8511500007133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87101347-0.87106140) × cos(1.34668914) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.222235964275565 × 6371000     		do = 67.8624251902356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87101347-0.87106140) × cos(1.34667849) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.222246347937462 × 6371000     		du = 67.8655959663113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34668914)-sin(1.34667849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222235964275565-0.222246347937462)×R²
    abs(0.87106140-0.87101347)×1.03836618970676e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.03836618970676e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.03836618970676e-05×40589641000000     		ar = 4604.65116140641m²