Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83706 / 19796
↖ ↑ ↗
← N 77.261748°
E 49.905396°		 ← 67.33 m → N 77.261748°
E 49.908142°		 →
↑
67.34 m
↓
↑
67.34 m
↓
N 77.261142°
E 49.905396°		 ← 67.33 m →
4 534 m²		 N 77.261142°
E 49.908142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638629913330078 y=0.151035308837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638629913330078 × 217)
    floor (0.638629913330078 × 131072)
    floor (83706.5)     		tx = 83706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151035308837891 × 217)
    floor (0.151035308837891 × 131072)
    floor (19796.5)     		ty = 19796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83706 / 19796 ti = "17/83706/19796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83706/19796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83706 ÷ 217
    83706 ÷ 131072     		x = 0.638626098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19796 ÷ 217
    19796 ÷ 131072     		y = 0.151031494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638626098632812 × 2 - 1) × π
    0.277252197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87101347
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151031494140625 × 2 - 1) × π
    0.69793701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19263378862137
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87101347} λ = 0.87101347}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19263378862137))-π/2
    2×atan(8.95877759563871)-π/2
    2×1.45963410860174-π/2
    2.91926821720349-1.57079632675     		φ = 1.34847189
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87101347} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.905396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34847189 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.261748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83706 KachelY 19796 0.87101347 1.34847189 49.905396 77.261748
    Oben rechts KachelX + 1 83707 KachelY 19796 0.87106140 1.34847189 49.908142 77.261748
    Unten links KachelX 83706 KachelY + 1 19797 0.87101347 1.34846132 49.905396 77.261142
    Unten rechts KachelX + 1 83707 KachelY + 1 19797 0.87106140 1.34846132 49.908142 77.261142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34847189-1.34846132) × R
    1.0569999999932e-05 × 6371000     		dl = 67.3414699995669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34847189-1.34846132) × R
    1.0569999999932e-05 × 6371000     		dr = 67.3414699995669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87101347-0.87106140) × cos(1.34847189) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.220497443429671 × 6371000     		do = 67.3315469355358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87101347-0.87106140) × cos(1.34846132) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.220507753263783 × 6371000     		du = 67.334695167409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34847189)-sin(1.34846132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220497443429671-0.220507753263783)×R²
    abs(0.87106140-0.87101347)×1.03098341114327e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.03098341114327e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.03098341114327e-05×40589641000000     		ar = 4534.3113511895m²