Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83705 / 19797
↖ ↑ ↗
← N 77.261142°
E 49.902649°		 ← 67.35 m → N 77.261142°
E 49.905396°		 →
↑
67.34 m
↓
↑
67.34 m
↓
N 77.260537°
E 49.902649°		 ← 67.35 m →
4 535 m²		 N 77.260537°
E 49.905396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19797 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638622283935547 y=0.151042938232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638622283935547 × 217)
    floor (0.638622283935547 × 131072)
    floor (83705.5)     		tx = 83705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151042938232422 × 217)
    floor (0.151042938232422 × 131072)
    floor (19797.5)     		ty = 19797
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83705 / 19797 ti = "17/83705/19797"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83705/19797.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83705 ÷ 217
    83705 ÷ 131072     		x = 0.638618469238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19797 ÷ 217
    19797 ÷ 131072     		y = 0.151039123535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638618469238281 × 2 - 1) × π
    0.277236938476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.87096553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151039123535156 × 2 - 1) × π
    0.697921752929688 × 3.1415926535     		Φ = 2.19258585172175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87096553} λ = 0.87096553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19258585172175))-π/2
    2×atan(8.95834814990962)-π/2
    2×1.45962882349629-π/2
    2.91925764699258-1.57079632675     		φ = 1.34846132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87096553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.902649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34846132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.261142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83705 KachelY 19797 0.87096553 1.34846132 49.902649 77.261142
    Oben rechts KachelX + 1 83706 KachelY 19797 0.87101347 1.34846132 49.905396 77.261142
    Unten links KachelX 83705 KachelY + 1 19798 0.87096553 1.34845075 49.902649 77.260537
    Unten rechts KachelX + 1 83706 KachelY + 1 19798 0.87101347 1.34845075 49.905396 77.260537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34846132-1.34845075) × R
    1.0569999999932e-05 × 6371000     		dl = 67.3414699995669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34846132-1.34845075) × R
    1.0569999999932e-05 × 6371000     		dr = 67.3414699995669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87096553-0.87101347) × cos(1.34846132) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220507753263783 × 6371000     		do = 67.3487437162841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87096553-0.87101347) × cos(1.34845075) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220518063073258 × 6371000     		du = 67.3518925974723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34846132)-sin(1.34845075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220507753263783-0.220518063073258)×R²
    abs(0.87101347-0.87096553)×1.0309809475223e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0309809475223e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0309809475223e-05×40589641000000     		ar = 4535.4694297882m²