Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83704 / 20712
↖ ↑ ↗
← N 76.694963°
E 49.899902°		 ← 70.29 m → N 76.694963°
E 49.902649°		 →
↑
70.27 m
↓
↑
70.27 m
↓
N 76.694331°
E 49.899902°		 ← 70.29 m →
4 939 m²		 N 76.694331°
E 49.902649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638614654541016 y=0.158023834228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638614654541016 × 217)
    floor (0.638614654541016 × 131072)
    floor (83704.5)     		tx = 83704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158023834228516 × 217)
    floor (0.158023834228516 × 131072)
    floor (20712.5)     		ty = 20712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83704 / 20712 ti = "17/83704/20712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83704/20712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83704 ÷ 217
    83704 ÷ 131072     		x = 0.63861083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20712 ÷ 217
    20712 ÷ 131072     		y = 0.15802001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63861083984375 × 2 - 1) × π
    0.2772216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87091759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15802001953125 × 2 - 1) × π
    0.6839599609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1487235885694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87091759} λ = 0.87091759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1487235885694))-π/2
    2×atan(8.57390757615297)-π/2
    2×1.45468797932886-π/2
    2.90937595865772-1.57079632675     		φ = 1.33857963
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87091759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.899902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33857963 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.694963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83704 KachelY 20712 0.87091759 1.33857963 49.899902 76.694963
    Oben rechts KachelX + 1 83705 KachelY 20712 0.87096553 1.33857963 49.902649 76.694963
    Unten links KachelX 83704 KachelY + 1 20713 0.87091759 1.33856860 49.899902 76.694331
    Unten rechts KachelX + 1 83705 KachelY + 1 20713 0.87096553 1.33856860 49.902649 76.694331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33857963-1.33856860) × R
    1.10299999998009e-05 × 6371000     		dl = 70.2721299987317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33857963-1.33856860) × R
    1.10299999998009e-05 × 6371000     		dr = 70.2721299987317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87091759-0.87096553) × cos(1.33857963) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230135284833279 × 6371000     		do = 70.2892396702688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87091759-0.87096553) × cos(1.33856860) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.230146018759147 × 6371000     		du = 70.2925180875201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33857963)-sin(1.33856860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230135284833279-0.230146018759147)×R²
    abs(0.87096553-0.87091759)×1.07339258679506e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.07339258679506e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.07339258679506e-05×40589641000000     		ar = 4939.48977838992m²