Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83704 / 19704
↖ ↑ ↗
← N 77.317345°
E 49.899902°		 ← 67.06 m → N 77.317345°
E 49.902649°		 →
↑
67.09 m
↓
↑
67.09 m
↓
N 77.316742°
E 49.899902°		 ← 67.06 m →
4 499 m²		 N 77.316742°
E 49.902649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19704 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638614654541016 y=0.150333404541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638614654541016 × 217)
    floor (0.638614654541016 × 131072)
    floor (83704.5)     		tx = 83704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150333404541016 × 217)
    floor (0.150333404541016 × 131072)
    floor (19704.5)     		ty = 19704
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83704 / 19704 ti = "17/83704/19704"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83704/19704.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83704 ÷ 217
    83704 ÷ 131072     		x = 0.63861083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19704 ÷ 217
    19704 ÷ 131072     		y = 0.15032958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63861083984375 × 2 - 1) × π
    0.2772216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87091759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15032958984375 × 2 - 1) × π
    0.6993408203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19704398338641
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87091759} λ = 0.87091759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19704398338641))-π/2
    2×atan(8.9983748012067)-π/2
    2×1.46011928258758-π/2
    2.92023856517516-1.57079632675     		φ = 1.34944224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87091759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.899902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34944224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.317345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83704 KachelY 19704 0.87091759 1.34944224 49.899902 77.317345
    Oben rechts KachelX + 1 83705 KachelY 19704 0.87096553 1.34944224 49.902649 77.317345
    Unten links KachelX 83704 KachelY + 1 19705 0.87091759 1.34943171 49.899902 77.316742
    Unten rechts KachelX + 1 83705 KachelY + 1 19705 0.87096553 1.34943171 49.902649 77.316742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34944224-1.34943171) × R
    1.05299999999531e-05 × 6371000     		dl = 67.086629999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34944224-1.34943171) × R
    1.05299999999531e-05 × 6371000     		dr = 67.086629999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87091759-0.87096553) × cos(1.34944224) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219550872458811 × 6371000     		do = 67.0564876883338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87091759-0.87096553) × cos(1.34943171) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219561145525725 × 6371000     		du = 67.0596253473983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34944224)-sin(1.34943171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219550872458811-0.219561145525725)×R²
    abs(0.87096553-0.87091759)×1.02730669147011e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02730669147011e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02730669147011e-05×40589641000000     		ar = 4498.69902622127m²