Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83703 / 19955
↖ ↑ ↗
← N 77.165096°
E 49.897156°		 ← 67.83 m → N 77.165096°
E 49.899902°		 →
↑
67.79 m
↓
↑
67.79 m
↓
N 77.164487°
E 49.897156°		 ← 67.84 m →
4 598 m²		 N 77.164487°
E 49.899902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638607025146484 y=0.152248382568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638607025146484 × 217)
    floor (0.638607025146484 × 131072)
    floor (83703.5)     		tx = 83703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152248382568359 × 217)
    floor (0.152248382568359 × 131072)
    floor (19955.5)     		ty = 19955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83703 / 19955 ti = "17/83703/19955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83703/19955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83703 ÷ 217
    83703 ÷ 131072     		x = 0.638603210449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19955 ÷ 217
    19955 ÷ 131072     		y = 0.152244567871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638603210449219 × 2 - 1) × π
    0.277206420898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.87086966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152244567871094 × 2 - 1) × π
    0.695510864257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.18501182158178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87086966} λ = 0.87086966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18501182158178))-π/2
    2×atan(8.89075365552155)-π/2
    2×1.45879066552804-π/2
    2.91758133105608-1.57079632675     		φ = 1.34678500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87086966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.897156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34678500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.165096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83703 KachelY 19955 0.87086966 1.34678500 49.897156 77.165096
    Oben rechts KachelX + 1 83704 KachelY 19955 0.87091759 1.34678500 49.899902 77.165096
    Unten links KachelX 83703 KachelY + 1 19956 0.87086966 1.34677436 49.897156 77.164487
    Unten rechts KachelX + 1 83704 KachelY + 1 19956 0.87091759 1.34677436 49.899902 77.164487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34678500-1.34677436) × R
    1.06399999999507e-05 × 6371000     		dl = 67.7874399996858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34678500-1.34677436) × R
    1.06399999999507e-05 × 6371000     		dr = 67.7874399996858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87086966-0.87091759) × cos(1.34678500) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.222142500434197 × 6371000     		do = 67.8338848819038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87086966-0.87091759) × cos(1.34677436) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.222152874572816 × 6371000     		du = 67.8370527499319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34678500)-sin(1.34677436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222142500434197-0.222152874572816)×R²
    abs(0.87091759-0.87086966)×1.0374138618735e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0374138618735e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0374138618735e-05×40589641000000     		ar = 4598.39277226383m²