Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83703 / 19953
↖ ↑ ↗
← N 77.166317°
E 49.897156°		 ← 67.83 m → N 77.166317°
E 49.899902°		 →
↑
67.85 m
↓
↑
67.85 m
↓
N 77.165707°
E 49.897156°		 ← 67.83 m →
4 602 m²		 N 77.165707°
E 49.899902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19953 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638607025146484 y=0.152233123779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638607025146484 × 217)
    floor (0.638607025146484 × 131072)
    floor (83703.5)     		tx = 83703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152233123779297 × 217)
    floor (0.152233123779297 × 131072)
    floor (19953.5)     		ty = 19953
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83703 / 19953 ti = "17/83703/19953"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83703/19953.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83703 ÷ 217
    83703 ÷ 131072     		x = 0.638603210449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19953 ÷ 217
    19953 ÷ 131072     		y = 0.152229309082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638603210449219 × 2 - 1) × π
    0.277206420898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.87086966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152229309082031 × 2 - 1) × π
    0.695541381835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.18510769538102
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87086966} λ = 0.87086966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18510769538102))-π/2
    2×atan(8.89160608671487)-π/2
    2×1.45880131385288-π/2
    2.91760262770577-1.57079632675     		φ = 1.34680630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87086966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.897156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34680630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.166317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83703 KachelY 19953 0.87086966 1.34680630 49.897156 77.166317
    Oben rechts KachelX + 1 83704 KachelY 19953 0.87091759 1.34680630 49.899902 77.166317
    Unten links KachelX 83703 KachelY + 1 19954 0.87086966 1.34679565 49.897156 77.165707
    Unten rechts KachelX + 1 83704 KachelY + 1 19954 0.87091759 1.34679565 49.899902 77.165707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34680630-1.34679565) × R
    1.06499999998899e-05 × 6371000     		dl = 67.8511499992986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34680630-1.34679565) × R
    1.06499999998899e-05 × 6371000     		dr = 67.8511499992986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87086966-0.87091759) × cos(1.34680630) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.222121732581136 × 6371000     		do = 67.8275431681343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87086966-0.87091759) × cos(1.34679565) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.222132116520264 × 6371000     		du = 67.8307140288658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34680630)-sin(1.34679565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222121732581136-0.222132116520264)×R²
    abs(0.87091759-0.87086966)×1.03839391278615e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.03839391278615e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.03839391278615e-05×40589641000000     		ar = 4602.28437896317m²