Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83703 / 19807
↖ ↑ ↗
← N 77.255085°
E 49.897156°		 ← 67.37 m → N 77.255085°
E 49.899902°		 →
↑
67.34 m
↓
↑
67.34 m
↓
N 77.254479°
E 49.897156°		 ← 67.37 m →
4 537 m²		 N 77.254479°
E 49.899902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19807 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638607025146484 y=0.151119232177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638607025146484 × 217)
    floor (0.638607025146484 × 131072)
    floor (83703.5)     		tx = 83703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151119232177734 × 217)
    floor (0.151119232177734 × 131072)
    floor (19807.5)     		ty = 19807
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83703 / 19807 ti = "17/83703/19807"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83703/19807.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83703 ÷ 217
    83703 ÷ 131072     		x = 0.638603210449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19807 ÷ 217
    19807 ÷ 131072     		y = 0.151115417480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638603210449219 × 2 - 1) × π
    0.277206420898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.87086966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151115417480469 × 2 - 1) × π
    0.697769165039062 × 3.1415926535     		Φ = 2.19210648272555
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87086966} λ = 0.87086966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19210648272555))-π/2
    2×atan(8.9540548246751)-π/2
    2×1.45957595884828-π/2
    2.91915191769657-1.57079632675     		φ = 1.34835559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87086966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.897156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34835559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.255085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83703 KachelY 19807 0.87086966 1.34835559 49.897156 77.255085
    Oben rechts KachelX + 1 83704 KachelY 19807 0.87091759 1.34835559 49.899902 77.255085
    Unten links KachelX 83703 KachelY + 1 19808 0.87086966 1.34834502 49.897156 77.254479
    Unten rechts KachelX + 1 83704 KachelY + 1 19808 0.87091759 1.34834502 49.899902 77.254479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34835559-1.34834502) × R
    1.0569999999932e-05 × 6371000     		dl = 67.3414699995669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34835559-1.34834502) × R
    1.0569999999932e-05 × 6371000     		dr = 67.3414699995669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87086966-0.87091759) × cos(1.34835559) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.220610879510573 × 6371000     		do = 67.3661860074753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87086966-0.87091759) × cos(1.34834502) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.220621189073553 × 6371000     		du = 67.3693341565553m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34835559)-sin(1.34834502))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220610879510573-0.220621189073553)×R²
    abs(0.87091759-0.87086966)×1.03095629798433e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.03095629798433e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.03095629798433e-05×40589641000000     		ar = 4536.64399474628m²