Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83702 / 20870
↖ ↑ ↗
← N 76.594725°
E 49.894409°		 ← 70.81 m → N 76.594725°
E 49.897156°		 →
↑
70.78 m
↓
↑
70.78 m
↓
N 76.594088°
E 49.894409°		 ← 70.81 m →
5 012 m²		 N 76.594088°
E 49.897156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638599395751953 y=0.159229278564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638599395751953 × 217)
    floor (0.638599395751953 × 131072)
    floor (83702.5)     		tx = 83702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.159229278564453 × 217)
    floor (0.159229278564453 × 131072)
    floor (20870.5)     		ty = 20870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83702 / 20870 ti = "17/83702/20870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83702/20870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83702 ÷ 217
    83702 ÷ 131072     		x = 0.638595581054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20870 ÷ 217
    20870 ÷ 131072     		y = 0.159225463867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638595581054688 × 2 - 1) × π
    0.277191162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87082172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159225463867188 × 2 - 1) × π
    0.681549072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14114955842943
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87082172} λ = 0.87082172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14114955842943))-π/2
    2×atan(8.50921384714827)-π/2
    2×1.45381323419154-π/2
    2.90762646838308-1.57079632675     		φ = 1.33683014
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87082172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.894409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33683014 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.594725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83702 KachelY 20870 0.87082172 1.33683014 49.894409 76.594725
    Oben rechts KachelX + 1 83703 KachelY 20870 0.87086966 1.33683014 49.897156 76.594725
    Unten links KachelX 83702 KachelY + 1 20871 0.87082172 1.33681903 49.894409 76.594088
    Unten rechts KachelX + 1 83703 KachelY + 1 20871 0.87086966 1.33681903 49.897156 76.594088
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33683014-1.33681903) × R
    1.11099999999809e-05 × 6371000     		dl = 70.781809999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33683014-1.33681903) × R
    1.11099999999809e-05 × 6371000     		dr = 70.781809999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87082172-0.87086966) × cos(1.33683014) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231837463095527 × 6371000     		do = 70.8091287256275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87082172-0.87086966) × cos(1.33681903) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.231848270384133 × 6371000     		du = 70.8124295497474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33683014)-sin(1.33681903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.231837463095527-0.231848270384133)×R²
    abs(0.87086966-0.87082172)×1.08072886060295e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08072886060295e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08072886060295e-05×40589641000000     		ar = 5012.11511502852m²