Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83702 / 19806
↖ ↑ ↗
← N 77.255691°
E 49.894409°		 ← 67.38 m → N 77.255691°
E 49.897156°		 →
↑
67.41 m
↓
↑
67.41 m
↓
N 77.255085°
E 49.894409°		 ← 67.38 m →
4 542 m²		 N 77.255085°
E 49.897156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83702 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638599395751953 y=0.151111602783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638599395751953 × 217)
    floor (0.638599395751953 × 131072)
    floor (83702.5)     		tx = 83702
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151111602783203 × 217)
    floor (0.151111602783203 × 131072)
    floor (19806.5)     		ty = 19806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83702 / 19806 ti = "17/83702/19806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83702/19806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83702 ÷ 217
    83702 ÷ 131072     		x = 0.638595581054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19806 ÷ 217
    19806 ÷ 131072     		y = 0.151107788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638595581054688 × 2 - 1) × π
    0.277191162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87082172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.151107788085938 × 2 - 1) × π
    0.697784423828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19215441962517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87082172} λ = 0.87082172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19215441962517))-π/2
    2×atan(8.95448406459055)-π/2
    2×1.45958124642544-π/2
    2.91916249285088-1.57079632675     		φ = 1.34836617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87082172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.894409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34836617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.255691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83702 KachelY 19806 0.87082172 1.34836617 49.894409 77.255691
    Oben rechts KachelX + 1 83703 KachelY 19806 0.87086966 1.34836617 49.897156 77.255691
    Unten links KachelX 83702 KachelY + 1 19807 0.87082172 1.34835559 49.894409 77.255085
    Unten rechts KachelX + 1 83703 KachelY + 1 19807 0.87086966 1.34835559 49.897156 77.255085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34836617-1.34835559) × R
    1.05800000000933e-05 × 6371000     		dl = 67.4051800005944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34836617-1.34835559) × R
    1.05800000000933e-05 × 6371000     		dr = 67.4051800005944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87082172-0.87086966) × cos(1.34836617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220600560169303 × 6371000     		do = 67.3770893340798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87082172-0.87086966) × cos(1.34835559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220610879510573 × 6371000     		du = 67.3802411265236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34836617)-sin(1.34835559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220600560169303-0.220610879510573)×R²
    abs(0.87086966-0.87082172)×1.03193412700764e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03193412700764e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03193412700764e-05×40589641000000     		ar = 4541.67105800119m²