Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 837 / 785
↖ ↑ ↗
← S 68.784144°
E114.257812°		 ← 14.147 km → S 68.784144°
E114.609375°		 →
↑
14.106 km
↓
↑
14.106 km
↓
S 68.911005°
E114.257812°		 ← 14.066 km →
198.989 km²		 S 68.911005°
E114.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 785 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81787109375 y=0.76708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81787109375 × 210)
    floor (0.81787109375 × 1024)
    floor (837.5)     		tx = 837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.76708984375 × 210)
    floor (0.76708984375 × 1024)
    floor (785.5)     		ty = 785
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 837 / 785 ti = "10/837/785"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/837/785.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 837 ÷ 210
    837 ÷ 1024     		x = 0.8173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 785 ÷ 210
    785 ÷ 1024     		y = 0.7666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8173828125 × 2 - 1) × π
    0.634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.99417502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7666015625 × 2 - 1) × π
    -0.533203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67510702032324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99417502} λ = 1.99417502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67510702032324))-π/2
    2×atan(0.187288134772658)-π/2
    2×0.1851432723394-π/2
    0.370286544678801-1.57079632675     		φ = -1.20050978
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99417502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.257812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20050978 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.784144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 837 KachelY 785 1.99417502 -1.20050978 114.257812 -68.784144
    Oben rechts KachelX + 1 838 KachelY 785 2.00031095 -1.20050978 114.609375 -68.784144
    Unten links KachelX 837 KachelY + 1 786 1.99417502 -1.20272393 114.257812 -68.911005
    Unten rechts KachelX + 1 838 KachelY + 1 786 2.00031095 -1.20272393 114.609375 -68.911005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20050978--1.20272393) × R
    0.00221415000000014 × 6371000     		dl = 14106.3496500009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20050978--1.20272393) × R
    0.00221415000000014 × 6371000     		dr = 14106.3496500009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99417502-2.00031095) × cos(-1.20050978) × R
    0.0061359299999999 × 0.361882572528031 × 6371000     		do = 14146.7171549478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99417502-2.00031095) × cos(-1.20272393) × R
    0.0061359299999999 × 0.359817604079576 × 6371000     		du = 14065.9933876491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20050978)-sin(-1.20272393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361882572528031-0.359817604079576)×R²
    abs(2.00031095-1.99417502)×0.00206496844845583×R²
    0.0061359299999999×0.00206496844845583×6371000²
    0.0061359299999999×0.00206496844845583×40589641000000     		ar = 198989261.038821m²