Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 837 / 333
↖ ↑ ↗
← N 53.120405°
E114.257812°		 ← 23.460 km → N 53.120405°
E114.609375°		 →
↑
23.518 km
↓
↑
23.518 km
↓
N 52.908902°
E114.257812°		 ← 23.576 km →
553.102 km²		 N 52.908902°
E114.609375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.81787109375 y=0.32568359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.81787109375 × 210)
    floor (0.81787109375 × 1024)
    floor (837.5)     		tx = 837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.32568359375 × 210)
    floor (0.32568359375 × 1024)
    floor (333.5)     		ty = 333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 837 / 333 ti = "10/837/333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/837/333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 837 ÷ 210
    837 ÷ 1024     		x = 0.8173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 333 ÷ 210
    333 ÷ 1024     		y = 0.3251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8173828125 × 2 - 1) × π
    0.634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.99417502
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3251953125 × 2 - 1) × π
    0.349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.09833024409473
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.99417502} λ = 1.99417502}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09833024409473))-π/2
    2×atan(2.99915398559235)-π/2
    2×1.24896114948003-π/2
    2.49792229896006-1.57079632675     		φ = 0.92712597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.99417502} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 114.257812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92712597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.120405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 837 KachelY 333 1.99417502 0.92712597 114.257812 53.120405
    Oben rechts KachelX + 1 838 KachelY 333 2.00031095 0.92712597 114.609375 53.120405
    Unten links KachelX 837 KachelY + 1 334 1.99417502 0.92343454 114.257812 52.908902
    Unten rechts KachelX + 1 838 KachelY + 1 334 2.00031095 0.92343454 114.609375 52.908902
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92712597-0.92343454) × R
    0.00369142999999994 × 6371000     		dl = 23518.1005299996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92712597-0.92343454) × R
    0.00369142999999994 × 6371000     		dr = 23518.1005299996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.99417502-2.00031095) × cos(0.92712597) × R
    0.0061359299999999 × 0.600135389807178 × 6371000     		do = 23460.4986776998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.99417502-2.00031095) × cos(0.92343454) × R
    0.0061359299999999 × 0.603084063284091 × 6371000     		du = 23575.7682508344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92712597)-sin(0.92343454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600135389807178-0.603084063284091)×R²
    abs(2.00031095-1.99417502)×0.00294867347691308×R²
    0.0061359299999999×0.00294867347691308×6371000²
    0.0061359299999999×0.00294867347691308×40589641000000     		ar = 553102455.168782m²