Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83696 / 20720
↖ ↑ ↗
← N 76.689906°
E 49.877930°		 ← 70.30 m → N 76.689906°
E 49.880676°		 →
↑
70.34 m
↓
↑
70.34 m
↓
N 76.689273°
E 49.877930°		 ← 70.30 m →
4 945 m²		 N 76.689273°
E 49.880676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20720 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638553619384766 y=0.158084869384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638553619384766 × 217)
    floor (0.638553619384766 × 131072)
    floor (83696.5)     		tx = 83696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158084869384766 × 217)
    floor (0.158084869384766 × 131072)
    floor (20720.5)     		ty = 20720
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83696 / 20720 ti = "17/83696/20720"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83696/20720.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83696 ÷ 217
    83696 ÷ 131072     		x = 0.6385498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20720 ÷ 217
    20720 ÷ 131072     		y = 0.1580810546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6385498046875 × 2 - 1) × π
    0.277099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.87053410
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1580810546875 × 2 - 1) × π
    0.683837890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.14834009337244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87053410} λ = 0.87053410}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14834009337244))-π/2
    2×atan(8.57062015417389)-π/2
    2×1.45464384320575-π/2
    2.9092876864115-1.57079632675     		φ = 1.33849136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87053410} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.877930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33849136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.689906°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83696 KachelY 20720 0.87053410 1.33849136 49.877930 76.689906
    Oben rechts KachelX + 1 83697 KachelY 20720 0.87058203 1.33849136 49.880676 76.689906
    Unten links KachelX 83696 KachelY + 1 20721 0.87053410 1.33848032 49.877930 76.689273
    Unten rechts KachelX + 1 83697 KachelY + 1 20721 0.87058203 1.33848032 49.880676 76.689273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33849136-1.33848032) × R
    1.10399999999622e-05 × 6371000     		dl = 70.3358399997591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33849136-1.33848032) × R
    1.10399999999622e-05 × 6371000     		dr = 70.3358399997591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87053410-0.87058203) × cos(1.33849136) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.230221184650307 × 6371000     		do = 70.3008082938656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87053410-0.87058203) × cos(1.33848032) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.230231928083422 × 6371000     		du = 70.3040889304108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33849136)-sin(1.33848032))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230221184650307-0.230231928083422)×R²
    abs(0.87058203-0.87053410)×1.07434331150513e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.07434331150513e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.07434331150513e-05×40589641000000     		ar = 4944.78177721351m²