Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83693 / 19725
↖ ↑ ↗
← N 77.304675°
E 49.869690°		 ← 67.11 m → N 77.304675°
E 49.872436°		 →
↑
67.09 m
↓
↑
67.09 m
↓
N 77.304072°
E 49.869690°		 ← 67.11 m →
4 502 m²		 N 77.304072°
E 49.872436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83693 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19725 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638530731201172 y=0.150493621826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638530731201172 × 217)
    floor (0.638530731201172 × 131072)
    floor (83693.5)     		tx = 83693
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150493621826172 × 217)
    floor (0.150493621826172 × 131072)
    floor (19725.5)     		ty = 19725
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83693 / 19725 ti = "17/83693/19725"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83693/19725.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83693 ÷ 217
    83693 ÷ 131072     		x = 0.638526916503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19725 ÷ 217
    19725 ÷ 131072     		y = 0.150489807128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638526916503906 × 2 - 1) × π
    0.277053833007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.87039029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150489807128906 × 2 - 1) × π
    0.699020385742188 × 3.1415926535     		Φ = 2.19603730849439
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87039029} λ = 0.87039029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19603730849439))-π/2
    2×atan(8.98932092114679)-π/2
    2×1.46000872012874-π/2
    2.92001744025748-1.57079632675     		φ = 1.34922111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87039029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.869690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34922111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.304675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83693 KachelY 19725 0.87039029 1.34922111 49.869690 77.304675
    Oben rechts KachelX + 1 83694 KachelY 19725 0.87043822 1.34922111 49.872436 77.304675
    Unten links KachelX 83693 KachelY + 1 19726 0.87039029 1.34921058 49.869690 77.304072
    Unten rechts KachelX + 1 83694 KachelY + 1 19726 0.87043822 1.34921058 49.872436 77.304072
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34922111-1.34921058) × R
    1.05299999999531e-05 × 6371000     		dl = 67.086629999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34922111-1.34921058) × R
    1.05299999999531e-05 × 6371000     		dr = 67.086629999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87039029-0.87043822) × cos(1.34922111) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219766601750026 × 6371000     		do = 67.1083756366307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87039029-0.87043822) × cos(1.34921058) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219776874305454 × 6371000     		du = 67.1115124850094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34922111)-sin(1.34921058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219766601750026-0.219776874305454)×R²
    abs(0.87043822-0.87039029)×1.02725554276262e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.02725554276262e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.02725554276262e-05×40589641000000     		ar = 4502.17998667936m²