Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83692 / 19948
↖ ↑ ↗
← N 77.169367°
E 49.866943°		 ← 67.83 m → N 77.169367°
E 49.869690°		 →
↑
67.79 m
↓
↑
67.79 m
↓
N 77.168757°
E 49.866943°		 ← 67.83 m →
4 598 m²		 N 77.168757°
E 49.869690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19948 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638523101806641 y=0.152194976806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638523101806641 × 217)
    floor (0.638523101806641 × 131072)
    floor (83692.5)     		tx = 83692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152194976806641 × 217)
    floor (0.152194976806641 × 131072)
    floor (19948.5)     		ty = 19948
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83692 / 19948 ti = "17/83692/19948"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83692/19948.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83692 ÷ 217
    83692 ÷ 131072     		x = 0.638519287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19948 ÷ 217
    19948 ÷ 131072     		y = 0.152191162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638519287109375 × 2 - 1) × π
    0.27703857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.87034235
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152191162109375 × 2 - 1) × π
    0.69561767578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.18534737987912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87034235} λ = 0.87034235}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18534737987912))-π/2
    2×atan(8.8937375222829)-π/2
    2×1.45882793031055-π/2
    2.9176558606211-1.57079632675     		φ = 1.34685953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87034235} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.866943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34685953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.169367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83692 KachelY 19948 0.87034235 1.34685953 49.866943 77.169367
    Oben rechts KachelX + 1 83693 KachelY 19948 0.87039029 1.34685953 49.869690 77.169367
    Unten links KachelX 83692 KachelY + 1 19949 0.87034235 1.34684889 49.866943 77.168757
    Unten rechts KachelX + 1 83693 KachelY + 1 19949 0.87039029 1.34684889 49.869690 77.168757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34685953-1.34684889) × R
    1.06399999999507e-05 × 6371000     		dl = 67.7874399996858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34685953-1.34684889) × R
    1.06399999999507e-05 × 6371000     		dr = 67.7874399996858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87034235-0.87039029) × cos(1.34685953) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222069832008231 × 6371000     		do = 67.8258427727451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87034235-0.87039029) × cos(1.34684889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222080206322984 × 6371000     		du = 67.8290113555055m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34685953)-sin(1.34684889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222069832008231-0.222080206322984)×R²
    abs(0.87039029-0.87034235)×1.03743147528701e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03743147528701e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03743147528701e-05×40589641000000     		ar = 4597.84764237508m²