Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83691 / 19949
↖ ↑ ↗
← N 77.168757°
E 49.864197°		 ← 67.83 m → N 77.168757°
E 49.866943°		 →
↑
67.85 m
↓
↑
67.85 m
↓
N 77.168147°
E 49.864197°		 ← 67.83 m →
4 602 m²		 N 77.168147°
E 49.866943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638515472412109 y=0.152202606201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638515472412109 × 217)
    floor (0.638515472412109 × 131072)
    floor (83691.5)     		tx = 83691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152202606201172 × 217)
    floor (0.152202606201172 × 131072)
    floor (19949.5)     		ty = 19949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83691 / 19949 ti = "17/83691/19949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83691/19949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83691 ÷ 217
    83691 ÷ 131072     		x = 0.638511657714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19949 ÷ 217
    19949 ÷ 131072     		y = 0.152198791503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638511657714844 × 2 - 1) × π
    0.277023315429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.87029441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152198791503906 × 2 - 1) × π
    0.695602416992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.1852994429795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87029441} λ = 0.87029441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1852994429795))-π/2
    2×atan(8.89331119429855)-π/2
    2×1.45882260751662-π/2
    2.91764521503324-1.57079632675     		φ = 1.34684889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87029441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.864197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34684889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.168757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83691 KachelY 19949 0.87029441 1.34684889 49.864197 77.168757
    Oben rechts KachelX + 1 83692 KachelY 19949 0.87034235 1.34684889 49.866943 77.168757
    Unten links KachelX 83691 KachelY + 1 19950 0.87029441 1.34683824 49.864197 77.168147
    Unten rechts KachelX + 1 83692 KachelY + 1 19950 0.87034235 1.34683824 49.866943 77.168147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34684889-1.34683824) × R
    1.06499999998899e-05 × 6371000     		dl = 67.8511499992986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34684889-1.34683824) × R
    1.06499999998899e-05 × 6371000     		dr = 67.8511499992986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87029441-0.87034235) × cos(1.34684889) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.222080206322984 × 6371000     		do = 67.8290113556626m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87029441-0.87034235) × cos(1.34683824) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.222090590362855 × 6371000     		du = 67.8321829087246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34684889)-sin(1.34683824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222080206322984-0.222090590362855)×R²
    abs(0.87034235-0.87029441)×1.03840398715249e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.03840398715249e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.03840398715249e-05×40589641000000     		ar = 4602.3840206449m²