Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83689 / 21023
↖ ↑ ↗
← N 76.496953°
E 49.858704°		 ← 71.32 m → N 76.496953°
E 49.861450°		 →
↑
71.36 m
↓
↑
71.36 m
↓
N 76.496311°
E 49.858704°		 ← 71.32 m →
5 089 m²		 N 76.496311°
E 49.861450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638500213623047 y=0.160396575927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638500213623047 × 217)
    floor (0.638500213623047 × 131072)
    floor (83689.5)     		tx = 83689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160396575927734 × 217)
    floor (0.160396575927734 × 131072)
    floor (21023.5)     		ty = 21023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83689 / 21023 ti = "17/83689/21023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83689/21023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83689 ÷ 217
    83689 ÷ 131072     		x = 0.638496398925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21023 ÷ 217
    21023 ÷ 131072     		y = 0.160392761230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638496398925781 × 2 - 1) × π
    0.276992797851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.87019854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160392761230469 × 2 - 1) × π
    0.679214477539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.13381521278756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87019854} λ = 0.87019854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13381521278756))-π/2
    2×atan(8.44703263962752)-π/2
    2×1.45296000650059-π/2
    2.90592001300118-1.57079632675     		φ = 1.33512369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87019854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.858704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33512369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.496953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83689 KachelY 21023 0.87019854 1.33512369 49.858704 76.496953
    Oben rechts KachelX + 1 83690 KachelY 21023 0.87024648 1.33512369 49.861450 76.496953
    Unten links KachelX 83689 KachelY + 1 21024 0.87019854 1.33511249 49.858704 76.496311
    Unten rechts KachelX + 1 83690 KachelY + 1 21024 0.87024648 1.33511249 49.861450 76.496311
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33512369-1.33511249) × R
    1.12000000001e-05 × 6371000     		dl = 71.3552000006372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33512369-1.33511249) × R
    1.12000000001e-05 × 6371000     		dr = 71.3552000006372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87019854-0.87024648) × cos(1.33512369) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.233497081718866 × 6371000     		do = 71.3160189719436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87019854-0.87024648) × cos(1.33511249) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.23350797210825 × 6371000     		du = 71.31934517718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33512369)-sin(1.33511249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233497081718866-0.23350797210825)×R²
    abs(0.87024648-0.87019854)×1.08903893838719e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.08903893838719e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.08903893838719e-05×40589641000000     		ar = 5088.88746804573m²