Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83688 / 21027
↖ ↑ ↗
← N 76.494387°
E 49.855957°		 ← 71.33 m → N 76.494387°
E 49.858704°		 →
↑
71.36 m
↓
↑
71.36 m
↓
N 76.493745°
E 49.855957°		 ← 71.33 m →
5 090 m²		 N 76.493745°
E 49.858704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638492584228516 y=0.160427093505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638492584228516 × 217)
    floor (0.638492584228516 × 131072)
    floor (83688.5)     		tx = 83688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160427093505859 × 217)
    floor (0.160427093505859 × 131072)
    floor (21027.5)     		ty = 21027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83688 / 21027 ti = "17/83688/21027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83688/21027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83688 ÷ 217
    83688 ÷ 131072     		x = 0.63848876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21027 ÷ 217
    21027 ÷ 131072     		y = 0.160423278808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63848876953125 × 2 - 1) × π
    0.2769775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87015060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160423278808594 × 2 - 1) × π
    0.679153442382812 × 3.1415926535     		Φ = 2.13362346518908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87015060} λ = 0.87015060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13362346518908))-π/2
    2×atan(8.44541309668129)-π/2
    2×1.45293761816085-π/2
    2.90587523632171-1.57079632675     		φ = 1.33507891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87015060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.855957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33507891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.494387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83688 KachelY 21027 0.87015060 1.33507891 49.855957 76.494387
    Oben rechts KachelX + 1 83689 KachelY 21027 0.87019854 1.33507891 49.858704 76.494387
    Unten links KachelX 83688 KachelY + 1 21028 0.87015060 1.33506771 49.855957 76.493745
    Unten rechts KachelX + 1 83689 KachelY + 1 21028 0.87019854 1.33506771 49.858704 76.493745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33507891-1.33506771) × R
    1.12000000001e-05 × 6371000     		dl = 71.3552000006372m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33507891-1.33506771) × R
    1.12000000001e-05 × 6371000     		dr = 71.3552000006372m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87015060-0.87019854) × cos(1.33507891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.233540623653708 × 6371000     		do = 71.3293177994484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87015060-0.87019854) × cos(1.33506771) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.233551513925971 × 6371000     		du = 71.3326439689131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33507891)-sin(1.33506771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233540623653708-0.233551513925971)×R²
    abs(0.87019854-0.87015060)×1.08902722630311e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08902722630311e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08902722630311e-05×40589641000000     		ar = 5089.83640726961m²