Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83688 / 19722
↖ ↑ ↗
← N 77.306486°
E 49.855957°		 ← 67.11 m → N 77.306486°
E 49.858704°		 →
↑
67.15 m
↓
↑
67.15 m
↓
N 77.305882°
E 49.855957°		 ← 67.12 m →
4 507 m²		 N 77.305882°
E 49.858704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638492584228516 y=0.150470733642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638492584228516 × 217)
    floor (0.638492584228516 × 131072)
    floor (83688.5)     		tx = 83688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150470733642578 × 217)
    floor (0.150470733642578 × 131072)
    floor (19722.5)     		ty = 19722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83688 / 19722 ti = "17/83688/19722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83688/19722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83688 ÷ 217
    83688 ÷ 131072     		x = 0.63848876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19722 ÷ 217
    19722 ÷ 131072     		y = 0.150466918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63848876953125 × 2 - 1) × π
    0.2769775390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.87015060
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150466918945312 × 2 - 1) × π
    0.699066162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19618111919325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87015060} λ = 0.87015060}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19618111919325))-π/2
    2×atan(8.99061377463159)-π/2
    2×1.46002452141434-π/2
    2.92004904282868-1.57079632675     		φ = 1.34925272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87015060} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.855957°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34925272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.306486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83688 KachelY 19722 0.87015060 1.34925272 49.855957 77.306486
    Oben rechts KachelX + 1 83689 KachelY 19722 0.87019854 1.34925272 49.858704 77.306486
    Unten links KachelX 83688 KachelY + 1 19723 0.87015060 1.34924218 49.855957 77.305882
    Unten rechts KachelX + 1 83689 KachelY + 1 19723 0.87019854 1.34924218 49.858704 77.305882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34925272-1.34924218) × R
    1.05399999998923e-05 × 6371000     		dl = 67.1503399993139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34925272-1.34924218) × R
    1.05399999998923e-05 × 6371000     		dr = 67.1503399993139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87015060-0.87019854) × cos(1.34925272) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219735764426352 × 6371000     		do = 67.1129584543403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87015060-0.87019854) × cos(1.34924218) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219746046810497 × 6371000     		du = 67.1160989591268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34925272)-sin(1.34924218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219735764426352-0.219746046810497)×R²
    abs(0.87019854-0.87015060)×1.02823841452993e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02823841452993e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02823841452993e-05×40589641000000     		ar = 4506.76342165353m²