Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83687 / 21022
↖ ↑ ↗
← N 76.497594°
E 49.853211°		 ← 71.30 m → N 76.497594°
E 49.855957°		 →
↑
71.29 m
↓
↑
71.29 m
↓
N 76.496953°
E 49.853211°		 ← 71.30 m →
5 083 m²		 N 76.496953°
E 49.855957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638484954833984 y=0.160388946533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638484954833984 × 217)
    floor (0.638484954833984 × 131072)
    floor (83687.5)     		tx = 83687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160388946533203 × 217)
    floor (0.160388946533203 × 131072)
    floor (21022.5)     		ty = 21022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83687 / 21022 ti = "17/83687/21022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83687/21022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83687 ÷ 217
    83687 ÷ 131072     		x = 0.638481140136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21022 ÷ 217
    21022 ÷ 131072     		y = 0.160385131835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638481140136719 × 2 - 1) × π
    0.276962280273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.87010267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160385131835938 × 2 - 1) × π
    0.679229736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.13386314968718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87010267} λ = 0.87010267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13386314968718))-π/2
    2×atan(8.44743757388882)-π/2
    2×1.45296560293333-π/2
    2.90593120586667-1.57079632675     		φ = 1.33513488
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87010267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.853211°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33513488 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.497594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83687 KachelY 21022 0.87010267 1.33513488 49.853211 76.497594
    Oben rechts KachelX + 1 83688 KachelY 21022 0.87015060 1.33513488 49.855957 76.497594
    Unten links KachelX 83687 KachelY + 1 21023 0.87010267 1.33512369 49.853211 76.496953
    Unten rechts KachelX + 1 83688 KachelY + 1 21023 0.87015060 1.33512369 49.855957 76.496953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33513488-1.33512369) × R
    1.11899999999387e-05 × 6371000     		dl = 71.2914899996098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33513488-1.33512369) × R
    1.11899999999387e-05 × 6371000     		dr = 71.2914899996098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87010267-0.87015060) × cos(1.33513488) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.233486201023794 × 6371000     		do = 71.2978203216574m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87010267-0.87015060) × cos(1.33512369) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.233497081718866 × 6371000     		du = 71.3011428727925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33513488)-sin(1.33512369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233486201023794-0.233497081718866)×R²
    abs(0.87015060-0.87010267)×1.08806950724072e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.08806950724072e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.08806950724072e-05×40589641000000     		ar = 5083.04627932028m²