Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83685 / 20450
↖ ↑ ↗
← N 76.859562°
E 49.847717°		 ← 69.44 m → N 76.859562°
E 49.850464°		 →
↑
69.44 m
↓
↑
69.44 m
↓
N 76.858937°
E 49.847717°		 ← 69.44 m →
4 822 m²		 N 76.858937°
E 49.850464°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83685 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638469696044922 y=0.156024932861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638469696044922 × 217)
    floor (0.638469696044922 × 131072)
    floor (83685.5)     		tx = 83685
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156024932861328 × 217)
    floor (0.156024932861328 × 131072)
    floor (20450.5)     		ty = 20450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83685 / 20450 ti = "17/83685/20450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83685/20450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83685 ÷ 217
    83685 ÷ 131072     		x = 0.638465881347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20450 ÷ 217
    20450 ÷ 131072     		y = 0.156021118164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638465881347656 × 2 - 1) × π
    0.276931762695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.87000679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156021118164062 × 2 - 1) × π
    0.687957763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16128305626985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.87000679} λ = 0.87000679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16128305626985))-π/2
    2×atan(8.68227035641459)-π/2
    2×1.45612436974404-π/2
    2.91224873948809-1.57079632675     		φ = 1.34145241
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.87000679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.847717°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34145241 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.859562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83685 KachelY 20450 0.87000679 1.34145241 49.847717 76.859562
    Oben rechts KachelX + 1 83686 KachelY 20450 0.87005473 1.34145241 49.850464 76.859562
    Unten links KachelX 83685 KachelY + 1 20451 0.87000679 1.34144151 49.847717 76.858937
    Unten rechts KachelX + 1 83686 KachelY + 1 20451 0.87005473 1.34144151 49.850464 76.858937
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34145241-1.34144151) × R
    1.09000000001469e-05 × 6371000     		dl = 69.4439000009359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34145241-1.34144151) × R
    1.09000000001469e-05 × 6371000     		dr = 69.4439000009359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.87000679-0.87005473) × cos(1.34145241) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22733866834597 × 6371000     		do = 69.4350810101369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.87000679-0.87005473) × cos(1.34144151) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227349282924223 × 6371000     		du = 69.4383229755547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34145241)-sin(1.34144151))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22733866834597-0.227349282924223)×R²
    abs(0.87005473-0.87000679)×1.06145782534095e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06145782534095e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06145782534095e-05×40589641000000     		ar = 4821.95538968901m²