Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83680 / 20985
↖ ↑ ↗
← N 76.521301°
E 49.833985°		 ← 71.17 m → N 76.521301°
E 49.836731°		 →
↑
71.23 m
↓
↑
71.23 m
↓
N 76.520660°
E 49.833985°		 ← 71.18 m →
5 070 m²		 N 76.520660°
E 49.836731°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20985 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638431549072266 y=0.160106658935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638431549072266 × 217)
    floor (0.638431549072266 × 131072)
    floor (83680.5)     		tx = 83680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160106658935547 × 217)
    floor (0.160106658935547 × 131072)
    floor (20985.5)     		ty = 20985
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83680 / 20985 ti = "17/83680/20985"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83680/20985.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83680 ÷ 217
    83680 ÷ 131072     		x = 0.638427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20985 ÷ 217
    20985 ÷ 131072     		y = 0.160102844238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638427734375 × 2 - 1) × π
    0.27685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86976711
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160102844238281 × 2 - 1) × π
    0.679794311523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.13563681497312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86976711} λ = 0.86976711}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13563681497312))-π/2
    2×atan(8.4624337958766)-π/2
    2×1.45317248766071-π/2
    2.90634497532143-1.57079632675     		φ = 1.33554865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86976711} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.833985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33554865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.521301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83680 KachelY 20985 0.86976711 1.33554865 49.833985 76.521301
    Oben rechts KachelX + 1 83681 KachelY 20985 0.86981504 1.33554865 49.836731 76.521301
    Unten links KachelX 83680 KachelY + 1 20986 0.86976711 1.33553747 49.833985 76.520660
    Unten rechts KachelX + 1 83681 KachelY + 1 20986 0.86981504 1.33553747 49.836731 76.520660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33554865-1.33553747) × R
    1.11799999999995e-05 × 6371000     		dl = 71.227779999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33554865-1.33553747) × R
    1.11799999999995e-05 × 6371000     		dr = 71.227779999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86976711-0.86981504) × cos(1.33554865) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.23308384760327 × 6371000     		do = 71.1749568643888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86976711-0.86981504) × cos(1.33553747) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.233094719653957 × 6371000     		du = 71.1782767758569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33554865)-sin(1.33553747))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.23308384760327-0.233094719653957)×R²
    abs(0.86981504-0.86976711)×1.0872050687144e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.0872050687144e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.0872050687144e-05×40589641000000     		ar = 5069.75240388119m²