Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83678 / 20988
↖ ↑ ↗
← N 76.519380°
E 49.828491°		 ← 71.20 m → N 76.519380°
E 49.831238°		 →
↑
71.23 m
↓
↑
71.23 m
↓
N 76.518740°
E 49.828491°		 ← 71.20 m →
5 072 m²		 N 76.518740°
E 49.831238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83678 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20988 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638416290283203 y=0.160129547119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638416290283203 × 217)
    floor (0.638416290283203 × 131072)
    floor (83678.5)     		tx = 83678
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160129547119141 × 217)
    floor (0.160129547119141 × 131072)
    floor (20988.5)     		ty = 20988
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83678 / 20988 ti = "17/83678/20988"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83678/20988.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83678 ÷ 217
    83678 ÷ 131072     		x = 0.638412475585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20988 ÷ 217
    20988 ÷ 131072     		y = 0.160125732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638412475585938 × 2 - 1) × π
    0.276824951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86967123
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160125732421875 × 2 - 1) × π
    0.67974853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.13549300427426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86967123} λ = 0.86967123}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13549300427426))-π/2
    2×atan(8.46121689486215)-π/2
    2×1.45315572651311-π/2
    2.90631145302622-1.57079632675     		φ = 1.33551513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86967123} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.828491°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33551513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.519380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83678 KachelY 20988 0.86967123 1.33551513 49.828491 76.519380
    Oben rechts KachelX + 1 83679 KachelY 20988 0.86971917 1.33551513 49.831238 76.519380
    Unten links KachelX 83678 KachelY + 1 20989 0.86967123 1.33550395 49.828491 76.518740
    Unten rechts KachelX + 1 83679 KachelY + 1 20989 0.86971917 1.33550395 49.831238 76.518740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33551513-1.33550395) × R
    1.11799999999995e-05 × 6371000     		dl = 71.227779999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33551513-1.33550395) × R
    1.11799999999995e-05 × 6371000     		dr = 71.227779999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86967123-0.86971917) × cos(1.33551513) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.233116444218948 × 6371000     		do = 71.1997624816944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86967123-0.86971917) × cos(1.33550395) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.233127316182278 × 6371000     		du = 71.2030830591397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33551513)-sin(1.33550395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233116444218948-0.233127316182278)×R²
    abs(0.86971917-0.86967123)×1.0871963329967e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0871963329967e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0871963329967e-05×40589641000000     		ar = 5071.51927671693m²