Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83676 / 19728
↖ ↑ ↗
← N 77.302865°
E 49.822998°		 ← 67.13 m → N 77.302865°
E 49.825745°		 →
↑
67.15 m
↓
↑
67.15 m
↓
N 77.302261°
E 49.822998°		 ← 67.13 m →
4 508 m²		 N 77.302261°
E 49.825745°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19728 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638401031494141 y=0.150516510009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638401031494141 × 217)
    floor (0.638401031494141 × 131072)
    floor (83676.5)     		tx = 83676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150516510009766 × 217)
    floor (0.150516510009766 × 131072)
    floor (19728.5)     		ty = 19728
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83676 / 19728 ti = "17/83676/19728"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83676/19728.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83676 ÷ 217
    83676 ÷ 131072     		x = 0.638397216796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19728 ÷ 217
    19728 ÷ 131072     		y = 0.1505126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638397216796875 × 2 - 1) × π
    0.27679443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86957536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1505126953125 × 2 - 1) × π
    0.698974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19589349779553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86957536} λ = 0.86957536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19589349779553))-π/2
    2×atan(8.98802825357478)-π/2
    2×1.45999291662615-π/2
    2.91998583325229-1.57079632675     		φ = 1.34918951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86957536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.822998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34918951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.302865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83676 KachelY 19728 0.86957536 1.34918951 49.822998 77.302865
    Oben rechts KachelX + 1 83677 KachelY 19728 0.86962330 1.34918951 49.825745 77.302865
    Unten links KachelX 83676 KachelY + 1 19729 0.86957536 1.34917897 49.822998 77.302261
    Unten rechts KachelX + 1 83677 KachelY + 1 19729 0.86962330 1.34917897 49.825745 77.302261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34918951-1.34917897) × R
    1.05399999998923e-05 × 6371000     		dl = 67.1503399993139m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34918951-1.34917897) × R
    1.05399999998923e-05 × 6371000     		dr = 67.1503399993139m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86957536-0.86962330) × cos(1.34918951) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219797429098657 × 6371000     		do = 67.1317924325107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86957536-0.86962330) × cos(1.34917897) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219807711336383 × 6371000     		du = 67.134932892577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34918951)-sin(1.34917897))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219797429098657-0.219807711336383)×R²
    abs(0.86962330-0.86957536)×1.02822377260336e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02822377260336e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02822377260336e-05×40589641000000     		ar = 4508.02812819215m²