Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83675 / 19699
↖ ↑ ↗
← N 77.320360°
E 49.820251°		 ← 67.04 m → N 77.320360°
E 49.822998°		 →
↑
67.09 m
↓
↑
67.09 m
↓
N 77.319757°
E 49.820251°		 ← 67.04 m →
4 498 m²		 N 77.319757°
E 49.822998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638393402099609 y=0.150295257568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638393402099609 × 217)
    floor (0.638393402099609 × 131072)
    floor (83675.5)     		tx = 83675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150295257568359 × 217)
    floor (0.150295257568359 × 131072)
    floor (19699.5)     		ty = 19699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83675 / 19699 ti = "17/83675/19699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83675/19699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83675 ÷ 217
    83675 ÷ 131072     		x = 0.638389587402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19699 ÷ 217
    19699 ÷ 131072     		y = 0.150291442871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638389587402344 × 2 - 1) × π
    0.276779174804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.86952742
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150291442871094 × 2 - 1) × π
    0.699417114257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.19728366788451
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86952742} λ = 0.86952742}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19728366788451))-π/2
    2×atan(9.00053183064758)-π/2
    2×1.46014559098204-π/2
    2.92029118196409-1.57079632675     		φ = 1.34949486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86952742} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.820251°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34949486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.320360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83675 KachelY 19699 0.86952742 1.34949486 49.820251 77.320360
    Oben rechts KachelX + 1 83676 KachelY 19699 0.86957536 1.34949486 49.822998 77.320360
    Unten links KachelX 83675 KachelY + 1 19700 0.86952742 1.34948433 49.820251 77.319757
    Unten rechts KachelX + 1 83676 KachelY + 1 19700 0.86957536 1.34948433 49.822998 77.319757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34949486-1.34948433) × R
    1.05300000001751e-05 × 6371000     		dl = 67.0866300011157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34949486-1.34948433) × R
    1.05300000001751e-05 × 6371000     		dr = 67.0866300011157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86952742-0.86957536) × cos(1.34949486) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219499536027478 × 6371000     		do = 67.0408082208051m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86952742-0.86957536) × cos(1.34948433) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219509809216032 × 6371000     		du = 67.0439459170214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34949486)-sin(1.34948433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219499536027478-0.219509809216032)×R²
    abs(0.86957536-0.86952742)×1.02731885541774e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02731885541774e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02731885541774e-05×40589641000000     		ar = 4497.64714494935m²