Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83674 / 20999
↖ ↑ ↗
← N 76.512335°
E 49.817505°		 ← 71.22 m → N 76.512335°
E 49.820251°		 →
↑
71.23 m
↓
↑
71.23 m
↓
N 76.511695°
E 49.817505°		 ← 71.22 m →
5 073 m²		 N 76.511695°
E 49.820251°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638385772705078 y=0.160213470458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638385772705078 × 217)
    floor (0.638385772705078 × 131072)
    floor (83674.5)     		tx = 83674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160213470458984 × 217)
    floor (0.160213470458984 × 131072)
    floor (20999.5)     		ty = 20999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83674 / 20999 ti = "17/83674/20999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83674/20999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83674 ÷ 217
    83674 ÷ 131072     		x = 0.638381958007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20999 ÷ 217
    20999 ÷ 131072     		y = 0.160209655761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638381958007812 × 2 - 1) × π
    0.276763916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86947949
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160209655761719 × 2 - 1) × π
    0.679580688476562 × 3.1415926535     		Φ = 2.13496569837844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86947949} λ = 0.86947949}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13496569837844))-π/2
    2×atan(8.456756421428)-π/2
    2×1.45309424891374-π/2
    2.90618849782749-1.57079632675     		φ = 1.33539217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86947949} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.817505°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33539217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.512335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83674 KachelY 20999 0.86947949 1.33539217 49.817505 76.512335
    Oben rechts KachelX + 1 83675 KachelY 20999 0.86952742 1.33539217 49.820251 76.512335
    Unten links KachelX 83674 KachelY + 1 21000 0.86947949 1.33538099 49.817505 76.511695
    Unten rechts KachelX + 1 83675 KachelY + 1 21000 0.86952742 1.33538099 49.820251 76.511695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33539217-1.33538099) × R
    1.11799999999995e-05 × 6371000     		dl = 71.227779999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33539217-1.33538099) × R
    1.11799999999995e-05 × 6371000     		dr = 71.227779999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86947949-0.86952742) × cos(1.33539217) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.233236014764298 × 6371000     		do = 71.2214229375796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86947949-0.86952742) × cos(1.33538099) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.233246886407075 × 6371000     		du = 71.2247427244874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33539217)-sin(1.33538099))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233236014764298-0.233246886407075)×R²
    abs(0.86952742-0.86947949)×1.08716427768274e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.08716427768274e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.08716427768274e-05×40589641000000     		ar = 5073.06207473042m²