Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83672 / 21002
↖ ↑ ↗
← N 76.510414°
E 49.812012°		 ← 71.25 m → N 76.510414°
E 49.814758°		 →
↑
71.29 m
↓
↑
71.29 m
↓
N 76.509772°
E 49.812012°		 ← 71.25 m →
5 079 m²		 N 76.509772°
E 49.814758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638370513916016 y=0.160236358642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638370513916016 × 217)
    floor (0.638370513916016 × 131072)
    floor (83672.5)     		tx = 83672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160236358642578 × 217)
    floor (0.160236358642578 × 131072)
    floor (21002.5)     		ty = 21002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83672 / 21002 ti = "17/83672/21002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83672/21002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83672 ÷ 217
    83672 ÷ 131072     		x = 0.63836669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21002 ÷ 217
    21002 ÷ 131072     		y = 0.160232543945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63836669921875 × 2 - 1) × π
    0.2767333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86938361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160232543945312 × 2 - 1) × π
    0.679534912109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13482188767958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86938361} λ = 0.86938361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13482188767958))-π/2
    2×atan(8.45554033682203)-π/2
    2×1.45307747682396-π/2
    2.90615495364792-1.57079632675     		φ = 1.33535863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86938361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.812012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33535863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.510414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83672 KachelY 21002 0.86938361 1.33535863 49.812012 76.510414
    Oben rechts KachelX + 1 83673 KachelY 21002 0.86943155 1.33535863 49.814758 76.510414
    Unten links KachelX 83672 KachelY + 1 21003 0.86938361 1.33534744 49.812012 76.509772
    Unten rechts KachelX + 1 83673 KachelY + 1 21003 0.86943155 1.33534744 49.814758 76.509772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33535863-1.33534744) × R
    1.11899999999387e-05 × 6371000     		dl = 71.2914899996098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33535863-1.33534744) × R
    1.11899999999387e-05 × 6371000     		dr = 71.2914899996098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86938361-0.86943155) × cos(1.33535863) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.233268629605165 × 6371000     		do = 71.2462438160617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86938361-0.86943155) × cos(1.33534744) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.233279510884573 × 6371000     		du = 71.2495672388769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33535863)-sin(1.33534744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233268629605165-0.233279510884573)×R²
    abs(0.86943155-0.86938361)×1.0881279407654e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.0881279407654e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.0881279407654e-05×40589641000000     		ar = 5079.36934458911m²