Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83672 / 19943
↖ ↑ ↗
← N 77.172416°
E 49.812012°		 ← 67.81 m → N 77.172416°
E 49.814758°		 →
↑
67.79 m
↓
↑
67.79 m
↓
N 77.171806°
E 49.812012°		 ← 67.81 m →
4 597 m²		 N 77.171806°
E 49.814758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19943 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638370513916016 y=0.152156829833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638370513916016 × 217)
    floor (0.638370513916016 × 131072)
    floor (83672.5)     		tx = 83672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152156829833984 × 217)
    floor (0.152156829833984 × 131072)
    floor (19943.5)     		ty = 19943
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83672 / 19943 ti = "17/83672/19943"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83672/19943.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83672 ÷ 217
    83672 ÷ 131072     		x = 0.63836669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19943 ÷ 217
    19943 ÷ 131072     		y = 0.152153015136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.63836669921875 × 2 - 1) × π
    0.2767333984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.86938361
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152153015136719 × 2 - 1) × π
    0.695693969726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.18558706437722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86938361} λ = 0.86938361}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18558706437722))-π/2
    2×atan(8.89586946878422)-π/2
    2×1.45885454054868-π/2
    2.91770908109736-1.57079632675     		φ = 1.34691275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86938361} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.812012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34691275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.172416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83672 KachelY 19943 0.86938361 1.34691275 49.812012 77.172416
    Oben rechts KachelX + 1 83673 KachelY 19943 0.86943155 1.34691275 49.814758 77.172416
    Unten links KachelX 83672 KachelY + 1 19944 0.86938361 1.34690211 49.812012 77.171806
    Unten rechts KachelX + 1 83673 KachelY + 1 19944 0.86943155 1.34690211 49.814758 77.171806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34691275-1.34690211) × R
    1.06399999999507e-05 × 6371000     		dl = 67.7874399996858m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34691275-1.34690211) × R
    1.06399999999507e-05 × 6371000     		dr = 67.7874399996858m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86938361-0.86943155) × cos(1.34691275) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.222017940556532 × 6371000     		do = 67.8099937878673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86938361-0.86943155) × cos(1.34690211) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.222028314997022 × 6371000     		du = 67.8131624090312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34691275)-sin(1.34690211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222017940556532-0.222028314997022)×R²
    abs(0.86943155-0.86938361)×1.03744404905404e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.03744404905404e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.03744404905404e-05×40589641000000     		ar = 4596.7732816254m²