Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8367 / 24784
↖ ↑ ↗
← N 40.111689°
W134.038697°		 ← 467.17 m → N 40.111689°
W134.033203°		 →
↑
467.19 m
↓
↑
467.19 m
↓
N 40.107487°
W134.038697°		 ← 467.20 m →
218 263 m²		 N 40.107487°
W134.033203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8367 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127677917480469 y=0.378181457519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127677917480469 × 216)
    floor (0.127677917480469 × 65536)
    floor (8367.5)     		tx = 8367
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.378181457519531 × 216)
    floor (0.378181457519531 × 65536)
    floor (24784.5)     		ty = 24784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8367 / 24784 ti = "16/8367/24784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8367/24784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8367 ÷ 216
    8367 ÷ 65536     		x = 0.127670288085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24784 ÷ 216
    24784 ÷ 65536     		y = 0.378173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127670288085938 × 2 - 1) × π
    -0.744659423828125 × 3.1415926535     		Λ = -2.33941658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.378173828125 × 2 - 1) × π
    0.24365234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.765456413133057
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33941658} λ = -2.33941658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.765456413133057))-π/2
    2×atan(2.14997542777641)-π/2
    2×1.13543868126385-π/2
    2.2708773625277-1.57079632675     		φ = 0.70008104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33941658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.038697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.70008104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 40.111689°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8367 KachelY 24784 -2.33941658 0.70008104 -134.038697 40.111689
    Oben rechts KachelX + 1 8368 KachelY 24784 -2.33932070 0.70008104 -134.033203 40.111689
    Unten links KachelX 8367 KachelY + 1 24785 -2.33941658 0.70000771 -134.038697 40.107487
    Unten rechts KachelX + 1 8368 KachelY + 1 24785 -2.33932070 0.70000771 -134.033203 40.107487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.70008104-0.70000771) × R
    7.33300000000936e-05 × 6371000     		dl = 467.185430000596m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.70008104-0.70000771) × R
    7.33300000000936e-05 × 6371000     		dr = 467.185430000596m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33941658--2.33932070) × cos(0.70008104) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.764789977371628 × 6371000     		do = 467.173089566319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33941658--2.33932070) × cos(0.70000771) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.764837220343387 × 6371000     		du = 467.201948005538m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.70008104)-sin(0.70000771))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764789977371628-0.764837220343387)×R²
    abs(-2.33932070--2.33941658)×4.7242971758843e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.7242971758843e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.7242971758843e-05×40589641000000     		ar = 218263.201952839m²