Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83669 / 19743
↖ ↑ ↗
← N 77.293806°
E 49.803772°		 ← 67.18 m → N 77.293806°
E 49.806519°		 →
↑
67.15 m
↓
↑
67.15 m
↓
N 77.293202°
E 49.803772°		 ← 67.18 m →
4 511 m²		 N 77.293202°
E 49.806519°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638347625732422 y=0.150630950927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638347625732422 × 217)
    floor (0.638347625732422 × 131072)
    floor (83669.5)     		tx = 83669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150630950927734 × 217)
    floor (0.150630950927734 × 131072)
    floor (19743.5)     		ty = 19743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83669 / 19743 ti = "17/83669/19743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83669/19743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83669 ÷ 217
    83669 ÷ 131072     		x = 0.638343811035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19743 ÷ 217
    19743 ÷ 131072     		y = 0.150627136230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638343811035156 × 2 - 1) × π
    0.276687622070312 × 3.1415926535     		Λ = 0.86923980
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150627136230469 × 2 - 1) × π
    0.698745727539062 × 3.1415926535     		Φ = 2.19517444430123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86923980} λ = 0.86923980}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19517444430123))-π/2
    2×atan(8.9815677034711)-π/2
    2×1.45991386584791-π/2
    2.91982773169581-1.57079632675     		φ = 1.34903140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86923980} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.803772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34903140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.293806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83669 KachelY 19743 0.86923980 1.34903140 49.803772 77.293806
    Oben rechts KachelX + 1 83670 KachelY 19743 0.86928774 1.34903140 49.806519 77.293806
    Unten links KachelX 83669 KachelY + 1 19744 0.86923980 1.34902086 49.803772 77.293202
    Unten rechts KachelX + 1 83670 KachelY + 1 19744 0.86928774 1.34902086 49.806519 77.293202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34903140-1.34902086) × R
    1.05400000001143e-05 × 6371000     		dl = 67.1503400007285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34903140-1.34902086) × R
    1.05400000001143e-05 × 6371000     		dr = 67.1503400007285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86923980-0.86928774) × cos(1.34903140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219951669855163 × 6371000     		do = 67.1789015297049m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86923980-0.86928774) × cos(1.34902086) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219961951726465 × 6371000     		du = 67.1820418778556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34903140)-sin(1.34902086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219951669855163-0.219961951726465)×R²
    abs(0.86928774-0.86923980)×1.02818713012542e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02818713012542e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02818713012542e-05×40589641000000     		ar = 4511.19151641903m²