Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83668 / 20460
↖ ↑ ↗
← N 76.853316°
E 49.801025°		 ← 69.47 m → N 76.853316°
E 49.803772°		 →
↑
69.51 m
↓
↑
69.51 m
↓
N 76.852691°
E 49.801025°		 ← 69.47 m →
4 829 m²		 N 76.852691°
E 49.803772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638339996337891 y=0.156101226806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638339996337891 × 217)
    floor (0.638339996337891 × 131072)
    floor (83668.5)     		tx = 83668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156101226806641 × 217)
    floor (0.156101226806641 × 131072)
    floor (20460.5)     		ty = 20460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83668 / 20460 ti = "17/83668/20460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83668/20460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83668 ÷ 217
    83668 ÷ 131072     		x = 0.638336181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20460 ÷ 217
    20460 ÷ 131072     		y = 0.156097412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638336181640625 × 2 - 1) × π
    0.27667236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86919186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156097412109375 × 2 - 1) × π
    0.68780517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16080368727365
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86919186} λ = 0.86919186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16080368727365))-π/2
    2×atan(8.67810934259929)-π/2
    2×1.45606986746985-π/2
    2.9121397349397-1.57079632675     		φ = 1.34134341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86919186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.801025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34134341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.853316°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83668 KachelY 20460 0.86919186 1.34134341 49.801025 76.853316
    Oben rechts KachelX + 1 83669 KachelY 20460 0.86923980 1.34134341 49.803772 76.853316
    Unten links KachelX 83668 KachelY + 1 20461 0.86919186 1.34133250 49.801025 76.852691
    Unten rechts KachelX + 1 83669 KachelY + 1 20461 0.86923980 1.34133250 49.803772 76.852691
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34134341-1.34133250) × R
    1.09099999998641e-05 × 6371000     		dl = 69.5076099991341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34134341-1.34133250) × R
    1.09099999998641e-05 × 6371000     		dr = 69.5076099991341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86919186-0.86923980) × cos(1.34134341) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22744481291284 × 6371000     		do = 69.4675002930201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86919186-0.86923980) × cos(1.34133250) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227455436958807 × 6371000     		du = 69.4707451501216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34134341)-sin(1.34133250))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22744481291284-0.227455436958807)×R²
    abs(0.86923980-0.86919186)×1.06240459676332e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06240459676332e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06240459676332e-05×40589641000000     		ar = 4828.63268910471m²