Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83668 / 20436
↖ ↑ ↗
← N 76.868300°
E 49.801025°		 ← 69.39 m → N 76.868300°
E 49.803772°		 →
↑
69.38 m
↓
↑
69.38 m
↓
N 76.867676°
E 49.801025°		 ← 69.39 m →
4 814 m²		 N 76.867676°
E 49.803772°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638339996337891 y=0.155918121337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638339996337891 × 217)
    floor (0.638339996337891 × 131072)
    floor (83668.5)     		tx = 83668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155918121337891 × 217)
    floor (0.155918121337891 × 131072)
    floor (20436.5)     		ty = 20436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83668 / 20436 ti = "17/83668/20436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83668/20436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83668 ÷ 217
    83668 ÷ 131072     		x = 0.638336181640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20436 ÷ 217
    20436 ÷ 131072     		y = 0.155914306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638336181640625 × 2 - 1) × π
    0.27667236328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86919186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155914306640625 × 2 - 1) × π
    0.68817138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.16195417286453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86919186} λ = 0.86919186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16195417286453))-π/2
    2×atan(8.68809912780412)-π/2
    2×1.45620063019685-π/2
    2.91240126039369-1.57079632675     		φ = 1.34160493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86919186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.801025°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34160493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.868300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83668 KachelY 20436 0.86919186 1.34160493 49.801025 76.868300
    Oben rechts KachelX + 1 83669 KachelY 20436 0.86923980 1.34160493 49.803772 76.868300
    Unten links KachelX 83668 KachelY + 1 20437 0.86919186 1.34159404 49.801025 76.867676
    Unten rechts KachelX + 1 83669 KachelY + 1 20437 0.86923980 1.34159404 49.803772 76.867676
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34160493-1.34159404) × R
    1.08899999999856e-05 × 6371000     		dl = 69.3801899999085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34160493-1.34159404) × R
    1.08899999999856e-05 × 6371000     		dr = 69.3801899999085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86919186-0.86923980) × cos(1.34160493) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227190139322971 × 6371000     		do = 69.389716423376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86919186-0.86923980) × cos(1.34159404) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.227200744540573 × 6371000     		du = 69.3929555298101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34160493)-sin(1.34159404))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227190139322971-0.227200744540573)×R²
    abs(0.86923980-0.86919186)×1.06052176024329e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.06052176024329e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.06052176024329e-05×40589641000000     		ar = 4814.38407439794m²