Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83666 / 19781
↖ ↑ ↗
← N 77.270829°
E 49.795532°		 ← 67.30 m → N 77.270829°
E 49.798279°		 →
↑
67.28 m
↓
↑
67.28 m
↓
N 77.270224°
E 49.795532°		 ← 67.30 m →
4 528 m²		 N 77.270224°
E 49.798279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638324737548828 y=0.150920867919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638324737548828 × 217)
    floor (0.638324737548828 × 131072)
    floor (83666.5)     		tx = 83666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150920867919922 × 217)
    floor (0.150920867919922 × 131072)
    floor (19781.5)     		ty = 19781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83666 / 19781 ti = "17/83666/19781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83666/19781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83666 ÷ 217
    83666 ÷ 131072     		x = 0.638320922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19781 ÷ 217
    19781 ÷ 131072     		y = 0.150917053222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638320922851562 × 2 - 1) × π
    0.276641845703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86909599
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150917053222656 × 2 - 1) × π
    0.698165893554688 × 3.1415926535     		Φ = 2.19335284211567
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86909599} λ = 0.86909599}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19335284211567))-π/2
    2×atan(8.96522175254263)-π/2
    2×1.45971335553646-π/2
    2.91942671107292-1.57079632675     		φ = 1.34863038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86909599} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.795532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34863038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.270829°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83666 KachelY 19781 0.86909599 1.34863038 49.795532 77.270829
    Oben rechts KachelX + 1 83667 KachelY 19781 0.86914393 1.34863038 49.798279 77.270829
    Unten links KachelX 83666 KachelY + 1 19782 0.86909599 1.34861982 49.795532 77.270224
    Unten rechts KachelX + 1 83667 KachelY + 1 19782 0.86914393 1.34861982 49.798279 77.270224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34863038-1.34861982) × R
    1.05599999999928e-05 × 6371000     		dl = 67.2777599999541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34863038-1.34861982) × R
    1.05599999999928e-05 × 6371000     		dr = 67.2777599999541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86909599-0.86914393) × cos(1.34863038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220342851487787 × 6371000     		do = 67.2983784693233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86909599-0.86914393) × cos(1.34861982) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220353151936962 × 6371000     		du = 67.3015244916349m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34863038)-sin(1.34861982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220342851487787-0.220353151936962)×R²
    abs(0.86914393-0.86909599)×1.03004491750214e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03004491750214e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03004491750214e-05×40589641000000     		ar = 4527.78998373999m²