Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83665 / 20983
↖ ↑ ↗
← N 76.522581°
E 49.792785°		 ← 71.18 m → N 76.522581°
E 49.795532°		 →
↑
71.16 m
↓
↑
71.16 m
↓
N 76.521941°
E 49.792785°		 ← 71.19 m →
5 066 m²		 N 76.521941°
E 49.795532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638317108154297 y=0.160091400146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638317108154297 × 217)
    floor (0.638317108154297 × 131072)
    floor (83665.5)     		tx = 83665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160091400146484 × 217)
    floor (0.160091400146484 × 131072)
    floor (20983.5)     		ty = 20983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83665 / 20983 ti = "17/83665/20983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83665/20983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83665 ÷ 217
    83665 ÷ 131072     		x = 0.638313293457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20983 ÷ 217
    20983 ÷ 131072     		y = 0.160087585449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638313293457031 × 2 - 1) × π
    0.276626586914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.86904805
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160087585449219 × 2 - 1) × π
    0.679824829101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.13573268877236
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86904805} λ = 0.86904805}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13573268877236))-π/2
    2×atan(8.46324516044911)-π/2
    2×1.45318366045694-π/2
    2.90636732091388-1.57079632675     		φ = 1.33557099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86904805} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.792785°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33557099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.522581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83665 KachelY 20983 0.86904805 1.33557099 49.792785 76.522581
    Oben rechts KachelX + 1 83666 KachelY 20983 0.86909599 1.33557099 49.795532 76.522581
    Unten links KachelX 83665 KachelY + 1 20984 0.86904805 1.33555982 49.792785 76.521941
    Unten rechts KachelX + 1 83666 KachelY + 1 20984 0.86909599 1.33555982 49.795532 76.521941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33557099-1.33555982) × R
    1.11699999998383e-05 × 6371000     		dl = 71.1640699989695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33557099-1.33555982) × R
    1.11699999998383e-05 × 6371000     		dr = 71.1640699989695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86904805-0.86909599) × cos(1.33557099) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.233062122863733 × 6371000     		do = 71.1831713417449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86904805-0.86909599) × cos(1.33555982) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.233072985248042 × 6371000     		du = 71.1864889935104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33557099)-sin(1.33555982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233062122863733-0.233072985248042)×R²
    abs(0.86909599-0.86904805)×1.08623843084743e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.08623843084743e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.08623843084743e-05×40589641000000     		ar = 5065.80223698179m²