Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83663 / 19780
↖ ↑ ↗
← N 77.271435°
E 49.787293°		 ← 67.30 m → N 77.271435°
E 49.790039°		 →
↑
67.34 m
↓
↑
67.34 m
↓
N 77.270829°
E 49.787293°		 ← 67.30 m →
4 532 m²		 N 77.270829°
E 49.790039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19780 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638301849365234 y=0.150913238525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638301849365234 × 217)
    floor (0.638301849365234 × 131072)
    floor (83663.5)     		tx = 83663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150913238525391 × 217)
    floor (0.150913238525391 × 131072)
    floor (19780.5)     		ty = 19780
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83663 / 19780 ti = "17/83663/19780"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83663/19780.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83663 ÷ 217
    83663 ÷ 131072     		x = 0.638298034667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19780 ÷ 217
    19780 ÷ 131072     		y = 0.150909423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638298034667969 × 2 - 1) × π
    0.276596069335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.86895218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150909423828125 × 2 - 1) × π
    0.69818115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19340077901529
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86895218} λ = 0.86895218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19340077901529))-π/2
    2×atan(8.96565152777881)-π/2
    2×1.45971863668947-π/2
    2.91943727337894-1.57079632675     		φ = 1.34864095
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86895218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.787293°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34864095 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.271435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83663 KachelY 19780 0.86895218 1.34864095 49.787293 77.271435
    Oben rechts KachelX + 1 83664 KachelY 19780 0.86900012 1.34864095 49.790039 77.271435
    Unten links KachelX 83663 KachelY + 1 19781 0.86895218 1.34863038 49.787293 77.270829
    Unten rechts KachelX + 1 83664 KachelY + 1 19781 0.86900012 1.34863038 49.790039 77.270829
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34864095-1.34863038) × R
    1.05700000001541e-05 × 6371000     		dl = 67.3414700009816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34864095-1.34863038) × R
    1.05700000001541e-05 × 6371000     		dr = 67.3414700009816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86895218-0.86900012) × cos(1.34864095) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.220332541259792 × 6371000     		do = 67.2952294604643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86895218-0.86900012) × cos(1.34863038) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.220342851487787 × 6371000     		du = 67.2983784694791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34864095)-sin(1.34863038))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220332541259792-0.220342851487787)×R²
    abs(0.86900012-0.86895218)×1.03102279945533e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.03102279945533e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.03102279945533e-05×40589641000000     		ar = 4531.86570543308m²