Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83662 / 19729
↖ ↑ ↗
← N 77.302261°
E 49.784546°		 ← 67.13 m → N 77.302261°
E 49.787293°		 →
↑
67.15 m
↓
↑
67.15 m
↓
N 77.301657°
E 49.784546°		 ← 67.14 m →
4 508 m²		 N 77.301657°
E 49.787293°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638294219970703 y=0.150524139404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638294219970703 × 217)
    floor (0.638294219970703 × 131072)
    floor (83662.5)     		tx = 83662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150524139404297 × 217)
    floor (0.150524139404297 × 131072)
    floor (19729.5)     		ty = 19729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83662 / 19729 ti = "17/83662/19729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83662/19729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83662 ÷ 217
    83662 ÷ 131072     		x = 0.638290405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19729 ÷ 217
    19729 ÷ 131072     		y = 0.150520324707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638290405273438 × 2 - 1) × π
    0.276580810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.86890424
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150520324707031 × 2 - 1) × π
    0.698959350585938 × 3.1415926535     		Φ = 2.19584556089591
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86890424} λ = 0.86890424}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19584556089591))-π/2
    2×atan(8.98759740569345)-π/2
    2×1.45998764829923-π/2
    2.91997529659846-1.57079632675     		φ = 1.34917897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86890424} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.784546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34917897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.302261°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83662 KachelY 19729 0.86890424 1.34917897 49.784546 77.302261
    Oben rechts KachelX + 1 83663 KachelY 19729 0.86895218 1.34917897 49.787293 77.302261
    Unten links KachelX 83662 KachelY + 1 19730 0.86890424 1.34916843 49.784546 77.301657
    Unten rechts KachelX + 1 83663 KachelY + 1 19730 0.86895218 1.34916843 49.787293 77.301657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34917897-1.34916843) × R
    1.05400000001143e-05 × 6371000     		dl = 67.1503400007285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34917897-1.34916843) × R
    1.05400000001143e-05 × 6371000     		dr = 67.1503400007285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86890424-0.86895218) × cos(1.34917897) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.219807711336383 × 6371000     		do = 67.134932892577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86890424-0.86895218) × cos(1.34916843) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21981799354969 × 6371000     		du = 67.1380733451853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34917897)-sin(1.34916843))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219807711336383-0.21981799354969)×R²
    abs(0.86895218-0.86890424)×1.02822133074276e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.02822133074276e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.02822133074276e-05×40589641000000     		ar = 4508.23901087502m²