Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83661 / 19777
↖ ↑ ↗
← N 77.273250°
E 49.781800°		 ← 67.27 m → N 77.273250°
E 49.784546°		 →
↑
67.28 m
↓
↑
67.28 m
↓
N 77.272645°
E 49.781800°		 ← 67.27 m →
4 526 m²		 N 77.272645°
E 49.784546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638286590576172 y=0.150890350341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638286590576172 × 217)
    floor (0.638286590576172 × 131072)
    floor (83661.5)     		tx = 83661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150890350341797 × 217)
    floor (0.150890350341797 × 131072)
    floor (19777.5)     		ty = 19777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83661 / 19777 ti = "17/83661/19777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83661/19777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83661 ÷ 217
    83661 ÷ 131072     		x = 0.638282775878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19777 ÷ 217
    19777 ÷ 131072     		y = 0.150886535644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638282775878906 × 2 - 1) × π
    0.276565551757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.86885631
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150886535644531 × 2 - 1) × π
    0.698226928710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.19354458971415
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86885631} λ = 0.86885631}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19354458971415))-π/2
    2×atan(8.96694097710684)-π/2
    2×1.45973447866692-π/2
    2.91946895733384-1.57079632675     		φ = 1.34867263
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86885631} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.781800°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34867263 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.273250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83661 KachelY 19777 0.86885631 1.34867263 49.781800 77.273250
    Oben rechts KachelX + 1 83662 KachelY 19777 0.86890424 1.34867263 49.784546 77.273250
    Unten links KachelX 83661 KachelY + 1 19778 0.86885631 1.34866207 49.781800 77.272645
    Unten rechts KachelX + 1 83662 KachelY + 1 19778 0.86890424 1.34866207 49.784546 77.272645
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34867263-1.34866207) × R
    1.05599999999928e-05 × 6371000     		dl = 67.2777599999541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34867263-1.34866207) × R
    1.05599999999928e-05 × 6371000     		dr = 67.2777599999541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86885631-0.86890424) × cos(1.34867263) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.220301639691068 × 6371000     		do = 67.2717559084343m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86885631-0.86890424) × cos(1.34866207) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.220311940238544 × 6371000     		du = 67.2749013045217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34867263)-sin(1.34866207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220301639691068-0.220311940238544)×R²
    abs(0.86890424-0.86885631)×1.03005474763052e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.03005474763052e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.03005474763052e-05×40589641000000     		ar = 4525.99885632088m²