Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83659 / 19787
↖ ↑ ↗
← N 77.267197°
E 49.776306°		 ← 67.32 m → N 77.267197°
E 49.779053°		 →
↑
67.34 m
↓
↑
67.34 m
↓
N 77.266592°
E 49.776306°		 ← 67.32 m →
4 533 m²		 N 77.266592°
E 49.779053°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638271331787109 y=0.150966644287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638271331787109 × 217)
    floor (0.638271331787109 × 131072)
    floor (83659.5)     		tx = 83659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150966644287109 × 217)
    floor (0.150966644287109 × 131072)
    floor (19787.5)     		ty = 19787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83659 / 19787 ti = "17/83659/19787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83659/19787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83659 ÷ 217
    83659 ÷ 131072     		x = 0.638267517089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19787 ÷ 217
    19787 ÷ 131072     		y = 0.150962829589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638267517089844 × 2 - 1) × π
    0.276535034179688 × 3.1415926535     		Λ = 0.86876043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150962829589844 × 2 - 1) × π
    0.698074340820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.19306522071795
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86876043} λ = 0.86876043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19306522071795))-π/2
    2×atan(8.96264353372451)-π/2
    2×1.45968166343218-π/2
    2.91936332686436-1.57079632675     		φ = 1.34856700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86876043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.776306°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34856700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.267197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83659 KachelY 19787 0.86876043 1.34856700 49.776306 77.267197
    Oben rechts KachelX + 1 83660 KachelY 19787 0.86880837 1.34856700 49.779053 77.267197
    Unten links KachelX 83659 KachelY + 1 19788 0.86876043 1.34855643 49.776306 77.266592
    Unten rechts KachelX + 1 83660 KachelY + 1 19788 0.86880837 1.34855643 49.779053 77.266592
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34856700-1.34855643) × R
    1.05700000001541e-05 × 6371000     		dl = 67.3414700009816m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34856700-1.34855643) × R
    1.05700000001541e-05 × 6371000     		dr = 67.3414700009816m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86876043-0.86880837) × cos(1.34856700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220404673322399 × 6371000     		do = 67.3172604489078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86876043-0.86880837) × cos(1.34855643) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220414983378138 × 6371000     		du = 67.3204094053113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34856700)-sin(1.34855643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220404673322399-0.220414983378138)×R²
    abs(0.86880837-0.86876043)×1.03100557390934e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03100557390934e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03100557390934e-05×40589641000000     		ar = 4533.34930261752m²