Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83657 / 20029
↖ ↑ ↗
← N 77.119869°
E 49.770813°		 ← 68.07 m → N 77.119869°
E 49.773559°		 →
↑
68.11 m
↓
↑
68.11 m
↓
N 77.119256°
E 49.770813°		 ← 68.07 m →
4 636 m²		 N 77.119256°
E 49.773559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20029 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638256072998047 y=0.152812957763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638256072998047 × 217)
    floor (0.638256072998047 × 131072)
    floor (83657.5)     		tx = 83657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152812957763672 × 217)
    floor (0.152812957763672 × 131072)
    floor (20029.5)     		ty = 20029
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83657 / 20029 ti = "17/83657/20029"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83657/20029.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83657 ÷ 217
    83657 ÷ 131072     		x = 0.638252258300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20029 ÷ 217
    20029 ÷ 131072     		y = 0.152809143066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638252258300781 × 2 - 1) × π
    0.276504516601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.86866456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152809143066406 × 2 - 1) × π
    0.694381713867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.1814644910099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86866456} λ = 0.86866456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1814644910099))-π/2
    2×atan(8.85927108582676)-π/2
    2×1.458395976974-π/2
    2.916791953948-1.57079632675     		φ = 1.34599563
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86866456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.770813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34599563 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.119869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83657 KachelY 20029 0.86866456 1.34599563 49.770813 77.119869
    Oben rechts KachelX + 1 83658 KachelY 20029 0.86871249 1.34599563 49.773559 77.119869
    Unten links KachelX 83657 KachelY + 1 20030 0.86866456 1.34598494 49.770813 77.119256
    Unten rechts KachelX + 1 83658 KachelY + 1 20030 0.86871249 1.34598494 49.773559 77.119256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34599563-1.34598494) × R
    1.06900000000909e-05 × 6371000     		dl = 68.1059900005792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34599563-1.34598494) × R
    1.06900000000909e-05 × 6371000     		dr = 68.1059900005792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86866456-0.86871249) × cos(1.34599563) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.222912078112087 × 6371000     		do = 68.0688846837096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86866456-0.86871249) × cos(1.34598494) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.222922499123488 × 6371000     		du = 68.0720668649054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34599563)-sin(1.34598494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222912078112087-0.222922499123488)×R²
    abs(0.86871249-0.86866456)×1.04210114002801e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.04210114002801e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.04210114002801e-05×40589641000000     		ar = 4636.00714262947m²