Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83657 / 19767
↖ ↑ ↗
← N 77.279299°
E 49.770813°		 ← 67.24 m → N 77.279299°
E 49.773559°		 →
↑
67.21 m
↓
↑
67.21 m
↓
N 77.278694°
E 49.770813°		 ← 67.24 m →
4 520 m²		 N 77.278694°
E 49.773559°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638256072998047 y=0.150814056396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638256072998047 × 217)
    floor (0.638256072998047 × 131072)
    floor (83657.5)     		tx = 83657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150814056396484 × 217)
    floor (0.150814056396484 × 131072)
    floor (19767.5)     		ty = 19767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83657 / 19767 ti = "17/83657/19767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83657/19767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83657 ÷ 217
    83657 ÷ 131072     		x = 0.638252258300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19767 ÷ 217
    19767 ÷ 131072     		y = 0.150810241699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638252258300781 × 2 - 1) × π
    0.276504516601562 × 3.1415926535     		Λ = 0.86866456
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150810241699219 × 2 - 1) × π
    0.698379516601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.19402395871035
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86866456} λ = 0.86866456}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19402395871035))-π/2
    2×atan(8.97124048104414)-π/2
    2×1.45978726921146-π/2
    2.91957453842292-1.57079632675     		φ = 1.34877821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86866456} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.770813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34877821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.279299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83657 KachelY 19767 0.86866456 1.34877821 49.770813 77.279299
    Oben rechts KachelX + 1 83658 KachelY 19767 0.86871249 1.34877821 49.773559 77.279299
    Unten links KachelX 83657 KachelY + 1 19768 0.86866456 1.34876766 49.770813 77.278694
    Unten rechts KachelX + 1 83658 KachelY + 1 19768 0.86871249 1.34876766 49.773559 77.278694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34877821-1.34876766) × R
    1.05500000000536e-05 × 6371000     		dl = 67.2140500003413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34877821-1.34876766) × R
    1.05500000000536e-05 × 6371000     		dr = 67.2140500003413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86866456-0.86871249) × cos(1.34877821) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.220198652374431 × 6371000     		do = 67.2403074922059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86866456-0.86871249) × cos(1.34876766) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.220208943412948 × 6371000     		du = 67.2434499846183m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34877821)-sin(1.34876766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220198652374431-0.220208943412948)×R²
    abs(0.86871249-0.86866456)×1.0291038517185e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.0291038517185e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.0291038517185e-05×40589641000000     		ar = 4519.59899980218m²