Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83655 / 19783
↖ ↑ ↗
← N 77.269619°
E 49.765320°		 ← 67.30 m → N 77.269619°
E 49.768066°		 →
↑
67.34 m
↓
↑
67.34 m
↓
N 77.269013°
E 49.765320°		 ← 67.31 m →
4 533 m²		 N 77.269013°
E 49.768066°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19783 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638240814208984 y=0.150936126708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638240814208984 × 217)
    floor (0.638240814208984 × 131072)
    floor (83655.5)     		tx = 83655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150936126708984 × 217)
    floor (0.150936126708984 × 131072)
    floor (19783.5)     		ty = 19783
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83655 / 19783 ti = "17/83655/19783"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83655/19783.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83655 ÷ 217
    83655 ÷ 131072     		x = 0.638236999511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19783 ÷ 217
    19783 ÷ 131072     		y = 0.150932312011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638236999511719 × 2 - 1) × π
    0.276473999023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.86856868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150932312011719 × 2 - 1) × π
    0.698135375976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.19325696831643
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86856868} λ = 0.86856868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19325696831643))-π/2
    2×atan(8.96436226387406)-π/2
    2×1.4597027924896-π/2
    2.9194055849792-1.57079632675     		φ = 1.34860926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86856868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.765320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34860926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.269619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83655 KachelY 19783 0.86856868 1.34860926 49.765320 77.269619
    Oben rechts KachelX + 1 83656 KachelY 19783 0.86861662 1.34860926 49.768066 77.269619
    Unten links KachelX 83655 KachelY + 1 19784 0.86856868 1.34859869 49.765320 77.269013
    Unten rechts KachelX + 1 83656 KachelY + 1 19784 0.86861662 1.34859869 49.768066 77.269013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34860926-1.34859869) × R
    1.0569999999932e-05 × 6371000     		dl = 67.3414699995669m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34860926-1.34859869) × R
    1.0569999999932e-05 × 6371000     		dr = 67.3414699995669m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86856868-0.86861662) × cos(1.34860926) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220363452361565 × 6371000     		do = 67.3046705064415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86856868-0.86861662) × cos(1.34859869) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.220373762515749 × 6371000     		du = 67.3078194929127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34860926)-sin(1.34859869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220363452361565-0.220373762515749)×R²
    abs(0.86861662-0.86856868)×1.03101541841233e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.03101541841233e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.03101541841233e-05×40589641000000     		ar = 4532.50147841283m²