Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83653 / 20993
↖ ↑ ↗
← N 76.516179°
E 49.759827°		 ← 71.22 m → N 76.516179°
E 49.762573°		 →
↑
71.23 m
↓
↑
71.23 m
↓
N 76.515538°
E 49.759827°		 ← 71.22 m →
5 073 m²		 N 76.515538°
E 49.762573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20993 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638225555419922 y=0.160167694091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638225555419922 × 217)
    floor (0.638225555419922 × 131072)
    floor (83653.5)     		tx = 83653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.160167694091797 × 217)
    floor (0.160167694091797 × 131072)
    floor (20993.5)     		ty = 20993
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83653 / 20993 ti = "17/83653/20993"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83653/20993.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83653 ÷ 217
    83653 ÷ 131072     		x = 0.638221740722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20993 ÷ 217
    20993 ÷ 131072     		y = 0.160163879394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638221740722656 × 2 - 1) × π
    0.276443481445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.86847281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.160163879394531 × 2 - 1) × π
    0.679672241210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.13525331977616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86847281} λ = 0.86847281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13525331977616))-π/2
    2×atan(8.45918911536075)-π/2
    2×1.45312778605765-π/2
    2.90625557211531-1.57079632675     		φ = 1.33545925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86847281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.759827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33545925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.516179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83653 KachelY 20993 0.86847281 1.33545925 49.759827 76.516179
    Oben rechts KachelX + 1 83654 KachelY 20993 0.86852075 1.33545925 49.762573 76.516179
    Unten links KachelX 83653 KachelY + 1 20994 0.86847281 1.33544807 49.759827 76.515538
    Unten rechts KachelX + 1 83654 KachelY + 1 20994 0.86852075 1.33544807 49.762573 76.515538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33545925-1.33544807) × R
    1.11799999999995e-05 × 6371000     		dl = 71.227779999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33545925-1.33544807) × R
    1.11799999999995e-05 × 6371000     		dr = 71.227779999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86847281-0.86852075) × cos(1.33545925) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.233170784295477 × 6371000     		do = 71.2163593397799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86847281-0.86852075) × cos(1.33544807) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23318165611315 × 6371000     		du = 71.2196798727378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33545925)-sin(1.33544807))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.233170784295477-0.23318165611315)×R²
    abs(0.86852075-0.86847281)×1.0871817672814e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0871817672814e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0871817672814e-05×40589641000000     		ar = 5072.70143251651m²