Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83653 / 20031
↖ ↑ ↗
← N 77.118644°
E 49.759827°		 ← 68.09 m → N 77.118644°
E 49.762573°		 →
↑
68.04 m
↓
↑
68.04 m
↓
N 77.118032°
E 49.759827°		 ← 68.09 m →
4 633 m²		 N 77.118032°
E 49.762573°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638225555419922 y=0.152828216552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638225555419922 × 217)
    floor (0.638225555419922 × 131072)
    floor (83653.5)     		tx = 83653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152828216552734 × 217)
    floor (0.152828216552734 × 131072)
    floor (20031.5)     		ty = 20031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83653 / 20031 ti = "17/83653/20031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83653/20031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83653 ÷ 217
    83653 ÷ 131072     		x = 0.638221740722656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20031 ÷ 217
    20031 ÷ 131072     		y = 0.152824401855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638221740722656 × 2 - 1) × π
    0.276443481445312 × 3.1415926535     		Λ = 0.86847281
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152824401855469 × 2 - 1) × π
    0.694351196289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.18136861721066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86847281} λ = 0.86847281}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18136861721066))-π/2
    2×atan(8.85842175456422)-π/2
    2×1.45838529076059-π/2
    2.91677058152117-1.57079632675     		φ = 1.34597425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86847281} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.759827°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34597425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.118644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83653 KachelY 20031 0.86847281 1.34597425 49.759827 77.118644
    Oben rechts KachelX + 1 83654 KachelY 20031 0.86852075 1.34597425 49.762573 77.118644
    Unten links KachelX 83653 KachelY + 1 20032 0.86847281 1.34596357 49.759827 77.118032
    Unten rechts KachelX + 1 83654 KachelY + 1 20032 0.86852075 1.34596357 49.762573 77.118032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34597425-1.34596357) × R
    1.06799999999296e-05 × 6371000     		dl = 68.0422799995517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34597425-1.34596357) × R
    1.06799999999296e-05 × 6371000     		dr = 68.0422799995517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86847281-0.86852075) × cos(1.34597425) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222932920109413 × 6371000     		do = 68.0894520947337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86847281-0.86852075) × cos(1.34596357) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222943331321548 × 6371000     		du = 68.0926319469045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34597425)-sin(1.34596357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222932920109413-0.222943331321548)×R²
    abs(0.86852075-0.86847281)×1.04112121354361e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04112121354361e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04112121354361e-05×40589641000000     		ar = 4633.0697465771m²