Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83650 / 20034
↖ ↑ ↗
← N 77.116807°
E 49.751587°		 ← 68.10 m → N 77.116807°
E 49.754334°		 →
↑
68.11 m
↓
↑
68.11 m
↓
N 77.116194°
E 49.751587°		 ← 68.10 m →
4 638 m²		 N 77.116194°
E 49.754334°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638202667236328 y=0.152851104736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638202667236328 × 217)
    floor (0.638202667236328 × 131072)
    floor (83650.5)     		tx = 83650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152851104736328 × 217)
    floor (0.152851104736328 × 131072)
    floor (20034.5)     		ty = 20034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83650 / 20034 ti = "17/83650/20034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83650/20034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83650 ÷ 217
    83650 ÷ 131072     		x = 0.638198852539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20034 ÷ 217
    20034 ÷ 131072     		y = 0.152847290039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638198852539062 × 2 - 1) × π
    0.276397705078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.86832900
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152847290039062 × 2 - 1) × π
    0.694305419921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.18122480651179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86832900} λ = 0.86832900}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18122480651179))-π/2
    2×atan(8.8571479103393)-π/2
    2×1.45836925956771-π/2
    2.91673851913542-1.57079632675     		φ = 1.34594219
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86832900} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.751587°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34594219 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.116807°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83650 KachelY 20034 0.86832900 1.34594219 49.751587 77.116807
    Oben rechts KachelX + 1 83651 KachelY 20034 0.86837694 1.34594219 49.754334 77.116807
    Unten links KachelX 83650 KachelY + 1 20035 0.86832900 1.34593150 49.751587 77.116194
    Unten rechts KachelX + 1 83651 KachelY + 1 20035 0.86837694 1.34593150 49.754334 77.116194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34594219-1.34593150) × R
    1.06899999998689e-05 × 6371000     		dl = 68.1059899991645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34594219-1.34593150) × R
    1.06899999998689e-05 × 6371000     		dr = 68.1059899991645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86832900-0.86837694) × cos(1.34594219) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222964173166063 × 6371000     		do = 68.0989975826883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86832900-0.86837694) × cos(1.34593150) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.222974594050101 × 6371000     		du = 68.1021803889071m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34594219)-sin(1.34593150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.222964173166063-0.222974594050101)×R²
    abs(0.86837694-0.86832900)×1.0420884038409e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.0420884038409e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.0420884038409e-05×40589641000000     		ar = 4638.05803244044m²