Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8365 / 25407
↖ ↑ ↗
← S 69.896342°
W 88.099365°		 ← 419.90 m → S 69.896342°
W 88.088379°		 →
↑
419.85 m
↓
↑
419.85 m
↓
S 69.900118°
W 88.099365°		 ← 419.83 m →
176 279 m²		 S 69.900118°
W 88.088379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.255294799804688 y=0.775375366210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.255294799804688 × 215)
    floor (0.255294799804688 × 32768)
    floor (8365.5)     		tx = 8365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775375366210938 × 215)
    floor (0.775375366210938 × 32768)
    floor (25407.5)     		ty = 25407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8365 / 25407 ti = "15/8365/25407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8365/25407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8365 ÷ 215
    8365 ÷ 32768     		x = 0.255279541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25407 ÷ 215
    25407 ÷ 32768     		y = 0.775360107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.255279541015625 × 2 - 1) × π
    -0.48944091796875 × 3.1415926535     		Λ = -1.53762399
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775360107421875 × 2 - 1) × π
    -0.55072021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73013858108707
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.53762399} λ = -1.53762399}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73013858108707))-π/2
    2×atan(0.177259843405894)-π/2
    2×0.175437514089777-π/2
    0.350875028179553-1.57079632675     		φ = -1.21992130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.53762399} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -88.099365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21992130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.896342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8365 KachelY 25407 -1.53762399 -1.21992130 -88.099365 -69.896342
    Oben rechts KachelX + 1 8366 KachelY 25407 -1.53743224 -1.21992130 -88.088379 -69.896342
    Unten links KachelX 8365 KachelY + 1 25408 -1.53762399 -1.21998720 -88.099365 -69.900118
    Unten rechts KachelX + 1 8366 KachelY + 1 25408 -1.53743224 -1.21998720 -88.088379 -69.900118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21992130--1.21998720) × R
    6.59000000000631e-05 × 6371000     		dl = 419.848900000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21992130--1.21998720) × R
    6.59000000000631e-05 × 6371000     		dr = 419.848900000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.53762399--1.53743224) × cos(-1.21992130) × R
    0.000191749999999935 × 0.343719652371095 × 6371000     		do = 419.901418332743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.53762399--1.53743224) × cos(-1.21998720) × R
    0.000191749999999935 × 0.343657766759656 × 6371000     		du = 419.825816440799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21992130)-sin(-1.21998720))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343719652371095-0.343657766759656)×R²
    abs(-1.53743224--1.53762399)×6.18856114393274e-05×R²
    0.000191749999999935×6.18856114393274e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.18856114393274e-05×40589641000000     		ar = 176279.277974056m²