Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8365 / 25015
↖ ↑ ↗
← N 39.134321°
W134.049682°		 ← 473.77 m → N 39.134321°
W134.044190°		 →
↑
473.81 m
↓
↑
473.81 m
↓
N 39.130060°
W134.049682°		 ← 473.80 m →
224 484 m²		 N 39.130060°
W134.044190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8365 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.127647399902344 y=0.381706237792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.127647399902344 × 216)
    floor (0.127647399902344 × 65536)
    floor (8365.5)     		tx = 8365
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.381706237792969 × 216)
    floor (0.381706237792969 × 65536)
    floor (25015.5)     		ty = 25015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8365 / 25015 ti = "16/8365/25015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8365/25015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8365 ÷ 216
    8365 ÷ 65536     		x = 0.127639770507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25015 ÷ 216
    25015 ÷ 65536     		y = 0.381698608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.127639770507812 × 2 - 1) × π
    -0.744720458984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.33960832
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.381698608398438 × 2 - 1) × π
    0.236602783203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.743309565508591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.33960832} λ = -2.33960832}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.743309565508591))-π/2
    2×atan(2.10288364168038)-π/2
    2×1.12690954152079-π/2
    2.25381908304158-1.57079632675     		φ = 0.68302276
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.33960832} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.049682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68302276 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.134321°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8365 KachelY 25015 -2.33960832 0.68302276 -134.049682 39.134321
    Oben rechts KachelX + 1 8366 KachelY 25015 -2.33951245 0.68302276 -134.044190 39.134321
    Unten links KachelX 8365 KachelY + 1 25016 -2.33960832 0.68294839 -134.049682 39.130060
    Unten rechts KachelX + 1 8366 KachelY + 1 25016 -2.33951245 0.68294839 -134.044190 39.130060
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68302276-0.68294839) × R
    7.43699999999903e-05 × 6371000     		dl = 473.811269999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68302276-0.68294839) × R
    7.43699999999903e-05 × 6371000     		dr = 473.811269999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.33960832--2.33951245) × cos(0.68302276) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.775668478875511 × 6371000     		do = 473.768820471655m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.33960832--2.33951245) × cos(0.68294839) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.775715414654103 × 6371000     		du = 473.797488271195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68302276)-sin(0.68294839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.775668478875511-0.775715414654103)×R²
    abs(-2.33951245--2.33960832)×4.69357785920499e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.69357785920499e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.69357785920499e-05×40589641000000     		ar = 224483.798181011m²