Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83645 / 20461
↖ ↑ ↗
← N 76.852691°
E 49.737854°		 ← 69.46 m → N 76.852691°
E 49.740600°		 →
↑
69.44 m
↓
↑
69.44 m
↓
N 76.852067°
E 49.737854°		 ← 69.46 m →
4 823 m²		 N 76.852067°
E 49.740600°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638164520263672 y=0.156108856201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638164520263672 × 217)
    floor (0.638164520263672 × 131072)
    floor (83645.5)     		tx = 83645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.156108856201172 × 217)
    floor (0.156108856201172 × 131072)
    floor (20461.5)     		ty = 20461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83645 / 20461 ti = "17/83645/20461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83645/20461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83645 ÷ 217
    83645 ÷ 131072     		x = 0.638160705566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20461 ÷ 217
    20461 ÷ 131072     		y = 0.156105041503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638160705566406 × 2 - 1) × π
    0.276321411132812 × 3.1415926535     		Λ = 0.86808932
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.156105041503906 × 2 - 1) × π
    0.687789916992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.16075575037403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86808932} λ = 0.86808932}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16075575037403))-π/2
    2×atan(8.67769335091359)-π/2
    2×1.45606441584298-π/2
    2.91212883168597-1.57079632675     		φ = 1.34133250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86808932} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.737854°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34133250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.852691°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83645 KachelY 20461 0.86808932 1.34133250 49.737854 76.852691
    Oben rechts KachelX + 1 83646 KachelY 20461 0.86813725 1.34133250 49.740600 76.852691
    Unten links KachelX 83645 KachelY + 1 20462 0.86808932 1.34132160 49.737854 76.852067
    Unten rechts KachelX + 1 83646 KachelY + 1 20462 0.86813725 1.34132160 49.740600 76.852067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34133250-1.34132160) × R
    1.09000000001469e-05 × 6371000     		dl = 69.4439000009359m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34133250-1.34132160) × R
    1.09000000001469e-05 × 6371000     		dr = 69.4439000009359m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86808932-0.86813725) × cos(1.34133250) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.227455436958807 × 6371000     		do = 69.4562539641601m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86808932-0.86813725) × cos(1.34132160) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.227466051239842 × 6371000     		du = 69.4594951625637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34133250)-sin(1.34132160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227455436958807-0.227466051239842)×R²
    abs(0.86813725-0.86808932)×1.06142810342158e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.06142810342158e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.06142810342158e-05×40589641000000     		ar = 4823.42569547628m²