Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 83642 / 20066
↖ ↑ ↗
← N 77.097196°
E 49.729614°		 ← 68.20 m → N 77.097196°
E 49.732361°		 →
↑
68.17 m
↓
↑
68.17 m
↓
N 77.096583°
E 49.729614°		 ← 68.20 m →
4 649 m²		 N 77.096583°
E 49.732361°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83642 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638141632080078 y=0.153095245361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638141632080078 × 217)
    floor (0.638141632080078 × 131072)
    floor (83642.5)     		tx = 83642
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.153095245361328 × 217)
    floor (0.153095245361328 × 131072)
    floor (20066.5)     		ty = 20066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83642 / 20066 ti = "17/83642/20066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83642/20066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83642 ÷ 217
    83642 ÷ 131072     		x = 0.638137817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20066 ÷ 217
    20066 ÷ 131072     		y = 0.153091430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638137817382812 × 2 - 1) × π
    0.276275634765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.86794550
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.153091430664062 × 2 - 1) × π
    0.693817138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.17969082572395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86794550} λ = 0.86794550}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.17969082572395))-π/2
    2×atan(8.84357163114769)-π/2
    2×1.45819812026779-π/2
    2.91639624053558-1.57079632675     		φ = 1.34559991
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86794550} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.729614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34559991 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.097196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83642 KachelY 20066 0.86794550 1.34559991 49.729614 77.097196
    Oben rechts KachelX + 1 83643 KachelY 20066 0.86799344 1.34559991 49.732361 77.097196
    Unten links KachelX 83642 KachelY + 1 20067 0.86794550 1.34558921 49.729614 77.096583
    Unten rechts KachelX + 1 83643 KachelY + 1 20067 0.86799344 1.34558921 49.732361 77.096583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34559991-1.34558921) × R
    1.07000000000301e-05 × 6371000     		dl = 68.169700000192m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34559991-1.34558921) × R
    1.07000000000301e-05 × 6371000     		dr = 68.169700000192m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86794550-0.86799344) × cos(1.34559991) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223297823761037 × 6371000     		do = 68.2009030625595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86794550-0.86799344) × cos(1.34558921) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.223308253576105 × 6371000     		du = 68.2040885965447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34559991)-sin(1.34558921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223297823761037-0.223308253576105)×R²
    abs(0.86799344-0.86794550)×1.04298150679361e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.04298150679361e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.04298150679361e-05×40589641000000     		ar = 4649.34367990789m²