Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 83641 / 20042
↖ ↑ ↗
← N 77.111907°
E 49.726868°		 ← 68.11 m → N 77.111907°
E 49.729614°		 →
↑
68.11 m
↓
↑
68.11 m
↓
N 77.111295°
E 49.726868°		 ← 68.11 m →
4 639 m²		 N 77.111295°
E 49.729614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 83641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.638134002685547 y=0.152912139892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.638134002685547 × 217)
    floor (0.638134002685547 × 131072)
    floor (83641.5)     		tx = 83641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.152912139892578 × 217)
    floor (0.152912139892578 × 131072)
    floor (20042.5)     		ty = 20042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 83641 / 20042 ti = "17/83641/20042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/83641/20042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 83641 ÷ 217
    83641 ÷ 131072     		x = 0.638130187988281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20042 ÷ 217
    20042 ÷ 131072     		y = 0.152908325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.638130187988281 × 2 - 1) × π
    0.276260375976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.86789757
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.152908325195312 × 2 - 1) × π
    0.694183349609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18084131131483
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.86789757} λ = 0.86789757}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18084131131483))-π/2
    2×atan(8.8537518878777)-π/2
    2×1.45832649873106-π/2
    2.91665299746212-1.57079632675     		φ = 1.34585667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.86789757} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 49.726868°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34585667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.111907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 83641 KachelY 20042 0.86789757 1.34585667 49.726868 77.111907
    Oben rechts KachelX + 1 83642 KachelY 20042 0.86794550 1.34585667 49.729614 77.111907
    Unten links KachelX 83641 KachelY + 1 20043 0.86789757 1.34584598 49.726868 77.111295
    Unten rechts KachelX + 1 83642 KachelY + 1 20043 0.86794550 1.34584598 49.729614 77.111295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34585667-1.34584598) × R
    1.06900000000909e-05 × 6371000     		dl = 68.1059900005792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34585667-1.34584598) × R
    1.06900000000909e-05 × 6371000     		dr = 68.1059900005792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.86789757-0.86794550) × cos(1.34585667) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.223047539524846 × 6371000     		do = 68.1102494558538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.86789757-0.86794550) × cos(1.34584598) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.223057960205006 × 6371000     		du = 68.1134315359014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34585667)-sin(1.34584598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.223047539524846-0.223057960205006)×R²
    abs(0.86794550-0.86789757)×1.04206801599394e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.04206801599394e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.04206801599394e-05×40589641000000     		ar = 4638.82432779421m²